Fórmulas de análisis y síntesis¶

Sea $\tilde{x}(t)$ una señal periódica de periodo fundamental $T_0$. El desarrollo en serie de Fourier establece que dicha señal puede expresarse como una superposición infinita de exponenciales complejas cuyas frecuencias son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental $\omega_0 = 2\pi/T_0$:

Esta expresión recibe el nombre de ecuación de síntesis de la serie de Fourier de tiempo continuo.

Los coeficientes complejos $c_k$ determinan la contribución de cada armónico a la señal original y se obtienen mediante la ecuación de análisis:

Expresa los coeficientes de la combinación lineal como proyección de la señal periódica sobre las señales de la base.

Esta expresión recibe el nombre de ecuación de análisis de la serie de Fourier de tiempo continuo.

El hecho de que el conjunto de exponenciales complejas relacionadas armónicamente constituya una base ortonormal garantiza la unicidad de los coeficientes del desarrollo y permite interpretar la serie de Fourier como la expansión de la señal en dicha base (ecuación de síntesis), donde los coeficientes se obtienen como las componentes de la señal en esa base, calculadas mediante la proyeccción (producto escalar del espacio) sobre las señales de la base, de acuerdo con la teoría general de espacios vectoriales.