Exponenciales complejas, autofunciones de los sistemas LTI continuos¶

Un aspecto fundamental que motiva el uso de exponenciales complejas en el análisis de Fourier es que estas funciones constituyen autofunciones de cualquier sistema lineal e invariante en el tiempo.

Una autofunción es una señal que al atravesar un sistema LTI, la salida es la misma autofunción multiplicada por un autovalor (constante en el tiempo):

La ventaja de usar autofunciones es que si se representa una señal como combinación lineal de autofunciones, la salida del sistema LTI será también una combinación lineal de autofunciones:

Figure 2:Combinación lineal de autofunciones y sistemas LTI.

En efecto, si un sistema LTI está caracterizado por su respuesta al impulso $h(t)$ y la señal de entrada es una exponencial compleja de la forma

x(t) = e^{j\omega_0 t},

(1)

la salida del sistema viene dada por la convolución de la señal de entrada con la respuesta al impulso del sistema:

\begin{split} y(t) &= x(t)\ast h(t) = h(t)\ast x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,e^{j\omega_0(t-\tau)}\,d\tau \\ &= e^{j\omega_0 t} \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,e^{-j\omega_0 \tau}\,d\tau = H(\omega_0)\,e^{j\omega_0 t}, \end{split}

(2)

donde $H(\omega_0)$ es la respuesta en frecuencia del sistema a la frecuencia $\omega_0$ . La salida es, por tanto, la misma exponencial compleja multiplicada por un factor complejo dependiente de la frecuencia, pero no del tiempo, es decir, constante en tiempo.

Esta propiedad implica que las exponenciales complejas no se deforman al atravesar un sistema LTI, sino que únicamente se ven escaladas en módulo y fase.

Como consecuencia, si una señal puede expresarse como una combinación lineal de exponenciales complejas, la respuesta del sistema se obtiene de forma inmediata modificando los coeficientes asociados a cada componente frecuencial. Esta observación justifica el uso de exponenciales complejas como funciones base en el desarrollo en serie de Fourier.

Consideramos el conjunto de las exponenciales complejas relacionadas armónicamente, con frecuencias múltiplos de una frecuencia fundamental, $\omega_k=k\,\omega_0$ :

\phi_k(t)=\{e^{jk\omega_0 t}\}_{k\in\mathbb{Z}}.

(3)

En la figura Figure 3 se muestra el conjunto de las exponenciales complejas de tiempo continuo relacionadas armónicamente:

Figure 3:Conjunto de exponenciales complejas de tiempo continuo relacionadas armónicamente. Se representa su parte real.

Se puede observar que en el caso continuo existen infinitas exponenciales complejas relacionadas armónicamente con periodo común $T_0$ ^[1].

El conjunto de las exponenciales complejas relacionadas armónicamente constituye una base ortogonal del espacio de las señales periódicas de potencia finita. Por ello, podremos representar cualquier señal periódica de potencia finita como una superposición infinita de dichas funciones^[2].

Nota: Base ortogonal del espacio vectorial de señales periódicas de potencia finita.

En el contexto de señales periódicas de período fundamental $T_0$ y potencia finita, se considera el espacio vectorial de funciones complejas definido sobre un intervalo de longitud $T_0$ , dotado del producto escalar

\langle \tilde{x},\tilde{y}\rangle = \frac{1}{T_0}\int_{\langle T_0 \rangle} \tilde{x}(t)\,\tilde{y}^*(t)\,dt.

(4)

Con respecto a este producto escalar, el conjunto de exponenciales complejas
$\phi_k(t)=\{e^{jk\omega_0 t}\}_{k\in\mathbb{Z}}$ es ortogonal y completo, es decir,

\langle \phi_k(t), \phi_l(t)\rangle = 0,\quad k\neq l\in \mathbb{Z},

(5)

||\phi_k(t)||^2 = \langle \phi_k(t), \phi_k(t)\rangle = P_\infty = 1,\quad k\in \mathbb{Z},

(6)

lo que permite representar cualquier señal del espacio vectorial como una superposición infinita de dichas funciones, con convergencia en el sentido de la norma inducida por el producto escalar, esto es, convergencia en potencia media.

Footnotes¶

El periodo fundamental de cada señal armónica será submúltiplo de $T_0$ y su frecuencia fundamental, múltiplo de $\omega_0=2\pi/T_0$ .
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Esta suma infinita corresponderá al desarrollo en Serie de Fourier de la señal, como se verá en el apartado Fórmulas de análisis y síntesis.
↩