Particularización para señales reales¶

En muchas aplicaciones prácticas las señales de interés son reales, lo que introduce propiedades adicionales en los coeficientes de la serie de Fourier. En este caso, los coeficientes de la serie de Fourier presentan una estructura de simetría que simplifica su interpretación espectral. En particular, si $\tilde{x}(t)$ es una señal real:

\tilde{x}(t)\in\Re \Leftrightarrow \tilde{x}(t)=\tilde{x}^\ast(t).

(1)

Si conjugamos los coeficientes de la serie de Fourier:

\begin{split} c_k^* = & \left(\frac{1}{T_0}\int_{\langle T_0 \rangle}\tilde{x}(t)e^{-jk\omega_0 t}\right)^\ast = \frac{1}{T_0}\int_{\langle T_0 \rangle}\tilde{x}^\ast(t)e^{jk\omega_0 t}\\ = & \frac{1}{T_0}\int_{\langle T_0 \rangle}\tilde{x}(t)e^{-j(-k)\omega_0 t}=c_{-k}. \end{split}

(2)

Por tanto, en el caso de señales reales, los coeficientes de su serie de Fourier tienen simetría hermítica (o conjugada), lo que implica que el espectro es redundante y que la información contenida en las componentes de frecuencia positiva determina completamente la señal.

Como consecuencia, la señal queda completamente caracterizada por las componentes de frecuencia positiva, pudiendo describirse mediante un espectro de módulo, que es una función par, y un espectro de fase, que es una función impar. Esta propiedad justifica el uso habitual de representaciones en módulo y fase en el análisis e interpretación de señales reales en aplicaciones de ingeniería.

En este caso, la ecuación de síntesis puede reescribirse aprovechando esta simetría para que contenga sólo términos reales:

\begin{split} \tilde{x}(t) =& c_0+\sum_{k=1}^{\infty}c_k e^{j k\omega_0 t}+\sum_{k=-\infty}^{-1}c_k e^{j k\omega_0 t} = c_0+\sum_{k=1}^{\infty}c_k e^{j k\omega_0 t}+\sum_{k=1}^{\infty}c_{-k} e^{-j k\omega_0 t}\\ =& c_0+\sum_{k=1}^{\infty}\left(c_k e^{j k\omega_0 t}+c_k^{\ast} e^{-j k\omega_0 t}\right) = c_0+2\sum_{k=1}^{\infty}\Re\left\{c_k e^{j k\omega_0 t}\right\}. \end{split}

(3)

Podemos expresar los coeficientes (complejos) en forma polar o cartersiana:

Expresando los coeficientes en forma polar, $c_k=C_k\,e^{j\theta_k}$ :

\tilde{x}(t) = c_0+2\sum_{k=1}^{\infty}\Re\left\{C_k e^{j(k\omega_0 t + \theta_k)}\right\} = c_0+2\sum_{k=1}^{\infty}C_k\cos\left(k \omega_0 t+\theta_k\right).

(4)

Expresando los coeficientes en forma cartesiana, $c_k=a_k+j\,b_k$ :

\begin{split} \tilde{x}(t) =& c_0+2\sum_{k=1}^{\infty}\Re\left\{(a_k+jb_k) e^{j k\omega_0 t}\right\}\\ =& c_0+2\sum_{k=1}^{\infty}\left[a_k\cos(k\omega_0 t)-b_k\sin(k\omega_0 t)\right]. \end{split}

(5)

De forma equivalente, en el caso de que la señal sea imaginaria pura:

\tilde{x}(t)=-\tilde{x}^\ast(t) \Rightarrow c_{-k}=-c_k^\ast.

(6)