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Ejemplos de determinación de la SF

En función de cómo de complicada sea la señal x~(t)\tilde{x}(t), hay dos formas de determinar los coeficientes de la serie de Fourier:

  • Señales que se pueden expresar de forma inmediata como suma de señales (co)senoidales y exponenciales complejas ⇒\Rightarrow Identificar con la ecuación de síntesis:

x~(t)=∑k=−∞∞ckejkω0t \tilde{x}(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty c_k e^{jk\omega_0 t}
(1)

  • Señales que no se pueden expresar de forma inmediata como suma de señales (co)senoidales y exponenciales complejas ⇒\Rightarrow Aplicar la ecuación de análisis:

ck=1T0∫⟨T0⟩x~(t)e−jkω0tdt c_k=\frac{1}{T_0}\int_{\langle T_0 \rangle} \tilde{x}(t) e^{-jk\omega_0 t}dt
(2)
Solution to Exercise 1

La frecuencia fundamental y periodo fundamental de la señal x~(t)\tilde{x}(t) será:

ω0=2π⇒T0=1.\omega_0=2\pi \Rightarrow T_0=1.
(3)

  • Convergencia:

∫⟨T0⟩∣x~(t)∣2dt=∫01∣cos⁡(2πt)∣2dt=∫011+cos⁡(4πt)2dt=12<∞\int_{\langle T_0\rangle} |\tilde{x}(t)|^2 dt=\int_0^1 |\cos(2\pi t)|^2 dt = \int_0^1 \frac{1+\cos(4\pi t)}{2} dt = \frac{1}{2} < \infty
(4)

  • Para obtener los coeficientes, identificamos con la ecuación de síntesis:

x~(t)=∑k=−∞∞ckejkω0t=∑k=−∞∞ckejk2πt=ej2πt+e−j2πt2 \tilde{x}(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty c_k e^{jk\omega_0 t}=\sum_{k=-\infty}^\infty c_k e^{jk 2\pi t}=\frac{e^{j2\pi t}+e^{-j2\pi t}}{2}
(5)
{c1=12,c−1=12,ck=0,k≠±1. \boxed{\begin{cases} c_1=\frac{1}{2},\\ c_{-1}=\frac{1}{2},\\ c_k=0, & k\neq \pm 1. \end{cases}}
(6)

  • Como x~(t)\tilde{x}(t) es real, se debe cumplir ck∗=c−kc_k^*=c_{-k}:

c1∗=c−1=12. c_1^*=c_{-1}=\frac{1}{2}.
(7)
Serie de Fourier de la señal coseno.

En la siguiente gráfica interactiva se muestra la señal x~(t)=cos⁡(ω0t)\tilde{x}(t)=\cos(\omega_0 t) y los coeficientes de su serie de Fourier. Se pueden variar los parámetros T0T_0 (periodo fundamental) y ω0\omega_0 (frecuencia fundamental), relacionados entre sí.

Observa:

  • Al variar el periodo fundamental, varía la frecuecia fundamental en relación inversa.

  • Los coeficientes de la serie de Fourier no varían.

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Solution to Exercise 2

La frecuencia fundamental de la señal x~(t)\tilde{x}(t) será:

ω0=2πT0.\omega_0=\frac{2\pi}{T_0}.
(8)

  • Convergencia:

∫⟨T0⟩∣x~(t)∣2dt=∫−T1T112dt=2T1<∞\int_{\langle T_0\rangle} |\tilde{x}(t)|^2 dt=\int_{-T_1}^{T_1} 1^2 dt = 2T_1 < \infty
(9)

  • Para obtener los coeficientes, como no es evidente cómo identificar con la ecuación de síntesis, aplicamos la ecuación de análisis:

ck=1T0∫⟨T0⟩x~(t)e−jkω0tdt=1T0∫−T1T11⋅e−jkω0tdt=1T0e−jkω0t∣−T1T1−jkω0=e−jkω0T1−ejkω0T1−jkω0T0=ejkω0T1−e−jkω0T12jkπ=sin⁡(kω0T1)kπ,k≠0. \begin{split} c_k &=\frac{1}{T_0}\int_{\langle T_0 \rangle} \tilde{x}(t) e^{-jk\omega_0 t}dt = \frac{1}{T_0}\int_{-T_1}^{T_1} 1\cdot e^{-jk\omega_0 t} dt\\ &=\frac{1}{T_0}\frac{\left.e^{-jk\omega_0 t}\right|_{-T_1}^{T_1}}{-jk\omega_0}=\frac{e^{-jk\omega_0 T_1}-e^{jk\omega_0 T_1}}{-jk\omega_0 T_0}\\ &=\frac{e^{jk\omega_0 T_1}-e^{-jk\omega_0 T_1}}{2jk\pi}=\frac{\sin(k\omega_0 T_1)}{k\pi}, \quad k\neq 0. \end{split}
(10)

Para k=0k=0 tenemos una indeterminación (0/0)(0/0). Cuando ocurre esto, lo más sencillo es calcular el coeficiente c0c_0 por separado, aplicando la ecuación de análisis particularizada para k=0k=0:

c0=1T0∫⟨T0⟩x~(t)dt=1T0∫−T1T1dt=2T1T0. c_0=\frac{1}{T_0}\int_{\langle T_0 \rangle} \tilde{x}(t) dt = \frac{1}{T_0}\int_{-T_1}^{T_1} dt =\frac{2T_1}{T_0}.
(11)

Se puede ver que el coeficiente c0c_0 siempre corresponde al valor medio de la señal.

Por tanto,

ck={sin⁡(kω0T1)kπ,k≠0,2T1T0,k=0. \boxed{c_k=\begin{cases} \frac{\sin(k\omega_0 T_1)}{k\pi}, & k\neq 0,\\ \frac{2T_1}{T_0}, & k=0. \end{cases}}
(12)

También podemos ponerlo en forma de sinc:

ck=sin⁡(kω0T1)kπ=ω0T1πsin⁡(πkω0T1π)kω0T1=ω0T1πsinc⁡(kω0T1π). c_k=\frac{\sin(k\omega_0 T_1)}{k\pi}=\frac{\omega_0 T_1}{\pi}\frac{\sin\left(\pi \frac{k\omega_0 T_1}{\pi}\right)}{k\omega_0 T_1}=\frac{\omega_0 T_1}{\pi}\sinc\left(\frac{k\omega_0 T_1}{\pi}\right).
(13)
ck=ω0T1πsinc⁡(kω0T1π)=2T1T0sinc⁡(k2T1T0). \boxed{c_k=\frac{\omega_0 T_1}{\pi}\sinc\left(\frac{k\omega_0 T_1}{\pi}\right)=\frac{2T_1}{T_0}\sinc\left(k\frac{2T_1}{T_0}\right).}
(14)

  • Como x~(t)\tilde{x}(t) es real, se debe cumplir ck∗=c−kc_k^*=c_{-k}:

ck∗=ck,c−k=sin⁡(−kω0T1)−kπ=−sin⁡(kω0T1)−kπ=sin⁡(kω0T1)kπ=ck. \begin{split} c_k^*&=c_k,\\ c_{-k}&=\frac{\sin(-k\omega_0 T_1)}{-k\pi}=\frac{-\sin(k\omega_0 T_1)}{-k\pi}=\frac{\sin(k\omega_0 T_1)}{k\pi}=c_k. \end{split}
(15)
Serie de Fourier de la señal cuadrada periódica.

En la siguiente gráfica interactiva se muestra la señal x~(t)\tilde{x}(t) y los coeficientes de su serie de Fourier. Se pueden variar los parámetros T0T_0 (periodo) y el ciclo de trabajo 2T1/T02T_1/T_0 (relación entre ancho del pulso y periodo).

Observa:

  • Variar el periodo no cambia los coeficientes de su serie de Fourier (sí cambia la suma al cambiar ω0\omega_0).

  • Variar el ciclo de trabajo sí cambia los coeficientes de la serie de Fourier.

  • Poner el ciclo de trabajo a 0.5 elimina todos los armónicos pares.

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Sistemas Lineales
Particularización para señales reales
Sistemas Lineales
Interpretación espectral de la serie de Fourier