Propiedades y pares de la SF en tiempo continuo¶

En la Table 1 se recogen las principales propiedades de la serie de Fourier para señales periódicas de periodo fundamental $T_0$ y potencia finita, mientras que en la Table 2 se muestran los pares transformados más comunes.

Table 1:Propiedades de la serie de Fourier

Propiedad	Señal periódica	Coef. Serie de Fourier
	$\left.\begin{array}{c}\tilde{x}(t)\\ \tilde{y}(t)\end{array}\right\}$ Periodo $T_0$ ( $\omega_0=\frac{2\pi}{T_0}$ )	$\begin{array}{c}c_k\\ d_k\end{array}$
Linealidad	$A\tilde{x}(t)+B\tilde{y}(t)$	$A\,c_k+B\,d_k$
Desplazamiento temporal	$\tilde{x}(t-t_0)$	$c_k\,e^{-jk\omega_0 t_0}$
Desplazamiento en frecuencia	$e^{jM\omega_0 t}\tilde{x}(t)$	$c_{k-M}$
Escalado temporal	$\tilde{x}(\alpha t)$ , $\alpha>0$ (Periódica con periodo $T_0/\alpha$ )	$c_k$
Inversión temporal	$\tilde{x}(-t)$	$c_{-k}$
Conjugación	$\tilde{x}^*(t)$	$c^*_{-k}$
Convolución periódica	$\tilde{x}(t)\circledast \tilde{y}(t)$	$T_0\,c_k d_k$
Multiplicación	$\tilde{x}(t)\tilde{y}(t)$	$c_k * d_k$
Diferenciación	$\dfrac{d}{dt}\tilde{x}(t)$	$jk\omega_0\,c_k$
Integración	$\displaystyle \int_{-\infty}^{t}\tilde{x}(\tau)\,d\tau$	$\left(\dfrac{1}{jk\omega_0}\right)c_k$ (Finita y periódica sólo si $c_0=0$ )

Relación de Parseval: La potencia media de la señal periódica equivale a la suma de las potencias de sus armónicos:

\frac{1}{T_0}\int_{T_0}|\tilde{x}(t)|^2dt = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}|c_k|^2

Table 2:Pares Básicos de Series de Fourier

Señal periódica $\tilde{x}(t)$	Coef. Serie de Fourier $c_k$
$\displaystyle \sum_{k=-\infty}^{+\infty}c_k e^{jk\omega_0t}$	$c_k$
$e^{j\omega_0t}$	$c_1=1$ $c_k=0,\quad k\neq 1$
$\cos \omega_0 t$	$c_1=c_{-1}=\frac{1}{2}$ $c_k=0, \quad k\neq \pm 1$
$\sin \omega_0 t$	$c_1=-c_{-1}=\frac{1}{2j}$ $c_k=0, \quad k\neq \pm 1$
1	$c_0=1$ $c_k=0, \quad k\neq 0$
Onda cuadrada periódica $\tilde{x}(t)=\begin{cases}1,&\|t\|<T_1\\0,& T_1<\|t\|\leq \frac{T_0}{2}\end{cases}$ $\tilde{x}(t+T_0)=\tilde{x}(t)$	$\displaystyle c_k=\frac{\sin(k\omega_0 T_1)}{k\pi} = \frac{\omega_0 T_1}{\pi}\sinc\left(\frac{k\omega_0T_1}{\pi}\right)$ $\quad = \frac{2T_1}{T_0}\sinc\left(k\frac{2T_1}{T_0}\right)$
Tren de deltas $\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t - nT_0)$	$\displaystyle c_k=\frac{1}{T_0},\quad \forall k$

A continuación veremos con más detalle cada una de las propiedades y ejemplos de aplicación de cada una de ellas.

Linealidad¶

Exercise 1 (Ejemplo 1)

\begin{split} \tilde{x}(t) &=\cos(2\pi t) \SF c_k=\begin{cases} \frac{1}{2}, & k=\pm 1,\\ 0, & k\neq \pm 1. \end{cases}\\ & \omega_{0x}=2\pi, T_{0x}=1.\\ \tilde{y}(t) &=\sin(2\pi t) \SF d_k=\begin{cases} \frac{-1}{2j}, & k=-1,\\ \frac{1}{2j}, & k=1,\\ 0, & k\neq \pm 1. \end{cases}\\ & \omega_{0y}=2\pi, T_{0y}=1. \end{split}

(2)

\tilde{z}(t) =3\cos(2\pi t)-5j\sin(2\pi t) \SF ??

(3)

Solution to Exercise 1

\begin{split} \tilde{z}(t) &=3\cos(2\pi t)-5j\sin(2\pi t) \SF a_k=3c_k-5j d_k \\ & \omega_0=2\pi, T_0=1. \end{split}

(4)

a_k=\begin{cases} \frac{3}{2}-5j\frac{-1}{2j}=4, & k=-1,\\ \frac{3}{2}-5j\frac{1}{2j}=-1, & k=1,\\ 0, & k\neq \pm 1. \end{cases}

(5)

Exercise 2 (Ejemplo 2)

\begin{split} \tilde{x}(t) &=\cos(2\pi t) \SF c_k=\begin{cases} \frac{1}{2}, & k=\pm 1,\\ 0, & k\neq \pm 1. \end{cases}\\ & \omega_{0x}=2\pi, T_{0x}=1.\\ \tilde{y}(t) &=\sin(4\pi t) \SF d_k=\begin{cases} \frac{-1}{2j}, & k=-1,\\ \frac{1}{2j}, & k=1,\\ 0, & k\neq \pm 1. \end{cases}\\ & \omega_{0y}=4\pi, T_{0y}=1/2. \end{split}

(6)

\tilde{z}(t) =3\cos(2\pi t)-5j\sin(4\pi t) \SF ??

(7)

Solution to Exercise 2

Como el desarrollo en serie de Fourier de $\tilde{x}(t)$ e $\tilde{y}(t)$ está hecho con distinto periodo, no podemos aplicar la propiedad de linealidad.

Para poder aplicar la propiedad de linealidad, en primer lugar debemos buscar si ambas señales tienen un periodo en común^[1]:

T_0=M T_{0x} = N T_{0y}, \, N, M \in \mathbb{Z} \Rightarrow T_0 = 1\, (M=1, N=2).

(8)

Obtenemos el desarrollo en serie de Fourier para $\tilde{y}(t)$ con periodo $T_0=2$ identificando con la ecuación de síntesis:

\tilde{y}(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty d_k e^{jk2\pi t} \quad \Rightarrow \quad d_k=\begin{cases} \frac{-1}{2j}, & k=-2,\\ \frac{1}{2j}, & k=2,\\ 0, & k\neq \pm 2. \end{cases}

(9)

\begin{split} \tilde{z}(t) &=3\cos(2\pi t)-5j\sin(2\pi t) \SF a_k=3c_k-5j d_k \\ & \omega_0=2\pi, T_0=1. \end{split}

(10)

a_k=\begin{cases} \frac{5}{2}, & k=-2,\\ \frac{3}{2}, & k=-1,\\ \frac{3}{2}, & k=1,\\ -\frac{5}{2}, & k=2,\\ 0, & k\neq \{\pm 1, \pm 2\}. \end{cases}

(11)

Desplazamiento en el tiempo¶

Solution to Exercise 3

\begin{split} \tilde{y}(t) &=\cos\left[2\pi\left(t-\frac{1}{4}\right)\right]=\tilde{x}\left(t-\frac{1}{4}\right) \SF d_k = c_k e^{-jk2\pi\left(\frac{1}{4}\right)} \\ & \omega_0=2\pi, T_0=1. \end{split}

(16)

d_k=\begin{cases} \frac{1}{2} e^{-j(-1) 2\pi \left(\frac{1}{4}\right)}=\frac{1}{2} e^{j\pi/2}=\frac{j}{2}, & k=-1,\\ \frac{1}{2} e^{-j(1) 2\pi \left(\frac{1}{4}\right)}=\frac{1}{2} e^{-j\pi/2}=\frac{-j}{2}, & k=1,\\ 0, & k\neq \pm 1. \end{cases}

(17)

Vamos a comprobarlo identificando con la ecuación de síntesis directamente:

\begin{split} \tilde{y}(t) &=\cos\left[2\pi\left(t-\frac{1}{4}\right)\right]=\frac{e^{j2\pi\left(t-\frac{1}{4}\right)}+e^{-j2\pi\left(t-\frac{1}{4}\right)}}{2}= \sum_{k=-\infty}^\infty d_k e^{jk2\pi t}\\ &=\frac{1}{2}e^{-j\frac{\pi}{2}}e^{j2\pi t}+\frac{1}{2}e^{j\frac{\pi}{2}}e^{-j2\pi t} = \frac{j}{2}e^{-j2\pi t}-\frac{j}{2}e^{j2\pi t}. \end{split}

(18)

Desplazamiento en frecuencia o modulación¶

Solution to Exercise 4

\begin{split} \tilde{y}(t) &=e^{j6\pi t}\cos(2\pi t) \SF d_k=c_{k-3} \\ & \omega_0=2\pi, T_0=1. \end{split}

(22)

d_k=\begin{cases} \frac{1}{2}, & k=2,\\ \frac{1}{2}, & k=4,\\ 0, & k\neq \{2,4\}. \end{cases}

(23)

Vamos a comprobarlo identificando con la ecuación de síntesis directamente:

\begin{split} \tilde{y}(t) &=e^{j6\pi t}\cos(2\pi t)=e^{j6\pi t}\frac{e^{j2\pi t}+e^{j2\pi t}}{2}= \sum_{k=-\infty}^\infty d_k e^{jk2\pi t}\\ &=\frac{1}{2}e^{j8\pi t}+\frac{1}{2}e^{j4\pi t}. \end{split}

(24)

Escalado temporal¶

Solution to Exercise 5

\begin{split} \tilde{y}(t) &=\tilde{x}(2t)=\cos(4\pi t) \SF d_k=c_k \\ & \omega_0=4\pi, T_0=1/2. \end{split}

(29)

d_k=\begin{cases} \frac{1}{2}, & k=\pm1,\\ 0, & k\neq \pm 1. \end{cases}

(30)

Vamos a comprobarlo identificando con la ecuación de síntesis directamente:

\begin{split} \tilde{y}(t) &=\cos(4\pi t)=\frac{e^{j4\pi t}+e^{j4\pi t}}{2}= \sum_{k=-\infty}^\infty d_k e^{jk4\pi t}\\ &=\frac{1}{2}e^{j4\pi t}+\frac{1}{2}e^{j4\pi t}. \end{split}

(31)

Simetría y conjugación¶

Consecuencias:

Si $\tilde{x}(t)$ tiene simetría par^[2], los coeficientes de su serie de Fourier también la tienen:
$\tilde{x}(t)=\tilde{x}(-t) \SF c_k = c_{-k}$
Si $\tilde{x}(t)$ tiene simetría impar^[2], los coeficientes de su serie de Fourier también la tienen:
$\tilde{x}(t)=-\tilde{x}(-t) \SF c_k = -c_{-k}$

Si $\tilde{x}(t)$ es real, los coeficientes de su serie de Fourier son hermíticos^[3]:
$\tilde{x}(t)=\tilde{x}^\ast(t) \SF c_k^\ast = c_{-k}\quad$
(visto en Particularización para señales reales)

Si $\tilde{x}(t)$ es real y par, los coeficientes de su serie de Fourier son reales y pares.
Si $\tilde{x}(t)$ es real e impar, los coeficientes de su serie de Fourier son imaginarios puros e impares.

Exercise 6 (Ejemplo 6)

Consideremos la señal periódica $\tilde{x}(t)$ mostrada en la figura:

En la figura interactiva inferior se muestra la señal en el tiempo $\tilde{x}(\alpha t-t_d)$ . Se representan la señal temporal y los coeficientes de su Serie de Fourier, tanto en formato módulo-fase como real-imaginario.

En esta figura se pueden variar los parámetros $t_d$ (desplazamiento), $\alpha$ (escalado) y la separación entre pulsos.

Prueba las siguientes propiedades^[4]:

Simetría Hermítica: La señal es real independientemente de los valores de $t_d$ , $\alpha$ y la separación. Mueve los parámetros y comprueba que los coeficientes $c_k$ son siempre hermíticos (módulo y parte real pares; fase y parte imaginaria impares).
Paridad (Par/Impar): Inicialmente ( $t_d=0$ ) la señal es par, por lo que los coeficientes $c_k$ son reales y pares (fase 0 ó $\pi$ y parte imaginaria nula).
Varía $t_d$ :
- Para $t_d=2, 4$ (múltiplos de $T_0/2$ ): la señal sigue siendo par, por lo que sus coeficientes se mantienen reales puros y pares (módulo y parte real pares, parte imaginaria nula y fase impar de valores 0 ó $\pm\pi$ )^[5].
- Para $t_d=1, 3, 5$ (cuartos de periodo): la señal se vuelve impar, por lo que sus coeficientes son imaginarios puros e impares (módulo par, parte real nula, parte imaginaria impar y fase impar de valores $\pm\pi/2$ .
- Para otros valores, la señal no tiene simetría par ni impar, por lo que los coeficientes son complejos (pero hermíticos).
Desplazamiento en el tiempo: Al variar $t_d$ , los coeficientes quedan multiplicados por $e^{-jk\omega_0 t_d}$ . Observa cómo esto altera su fase $\angle c_k=-k\omega_0 t_d$ (lineal en $k$ ), pero mantiene intacto su módulo.
Escalado temporal: Cambia el valor del escalado ( $\alpha$ ) para cualesquiera valores de los otros dos parámetros y observa que los coeficientes $c_k$ son exactamente los mismos. El cambio de escala temporal afecta a la frecuencia fundamental $\omega_0$ , pero no a la “forma” relativa de los coeficientes.

%load_ext autoreload
%autoreload 2

import sys
import os
sys.path.append(os.path.abspath(".."))

from utils.plot_helpers import style_math_axes

import numpy as np
from bokeh.plotting import figure, show
from bokeh.layouts import column, row
from bokeh.models import ColumnDataSource, CustomJS, Slider, RadioButtonGroup, Label, Arrow, NormalHead, Button, Div
from bokeh.io import output_notebook

# Importamos tus funciones
from utils.plot_helpers import style_math_axes, add_math_ticks

output_notebook()

# ==========================================
# 1. PARÁMETROS
# ==========================================
COLOR_SIG = 'blue'   
COLOR_PHASE = 'blue' 
COLOR_TREND = '#999999' 

# Valores Iniciales
VAL_TD_INIT = 0.0
VAL_SEP_INIT = 2.0
VAL_SCALE_INIT = 1.0

WIDTH_BASE = 1.0  
width = WIDTH_BASE * VAL_SCALE_INIT
dist = VAL_SEP_INIT * width
T_period = 2 * dist 
w0 = 2 * np.pi / T_period

RANGO_T = 15.0 
K_MAX = 15
k_indices = np.arange(-K_MAX, K_MAX + 1)

# ==========================================
# 2. DATOS INICIALES
# ==========================================
t_vals = np.linspace(-RANGO_T, RANGO_T, 1000)

def get_y_time_scaled(t_arr, w_base, d_base, td, sc):
    y = np.zeros_like(t_arr)
    w_current = w_base * sc
    for k_pulse in range(-15, 16):
        center = sc * (k_pulse * d_base + td)
        sign = 1 if k_pulse % 2 == 0 else -1
        val = np.maximum(0, 1 - np.abs(t_arr - center)/w_current)
        y += sign * val
    return y

y_vals = get_y_time_scaled(t_vals, WIDTH_BASE, dist, 0, VAL_SCALE_INIT)
y_ghost = get_y_time_scaled(t_vals, WIDTH_BASE, dist, 0, VAL_SCALE_INIT)

source_sig = ColumnDataSource(data=dict(t=t_vals, y=y_vals))
source_ghost = ColumnDataSource(data=dict(t=t_vals, y=y_ghost))
source_marker = ColumnDataSource(data=dict(x=[0], y=[0], text=["td"]))

source_dim = ColumnDataSource(data=dict(
    x_start=[0], y_start=[1.15], 
    x_end=[T_period], y_end=[1.15]
))

# --- FRECUENCIA ---
mag_ck, phase_ck, phase_trend, real_ck, imag_ck = [], [], [], [], []

for k in k_indices:
    phase_trend.append(0) 
    if k % 2 == 0:
        m, p, r, i_val = 0, 0, 0, 0
    else:
        arg = k * np.pi / (2 * VAL_SEP_INIT)
        sinc = np.sin(arg)/arg if abs(arg)>1e-9 else 1.0
        scale_amp = 1.0 / VAL_SEP_INIT
        m = abs((sinc**2) * scale_amp)
        p, r, i_val = 0, m, 0
    
    mag_ck.append(m)
    phase_ck.append(p)
    real_ck.append(r)
    imag_ck.append(i_val)

source_freq = ColumnDataSource(data=dict(
    k=k_indices, mag=mag_ck, phase=phase_ck, phase_trend=phase_trend,
    re=real_ck, im=imag_ck, zeros=np.zeros_like(k_indices)
))

# ==========================================
# 3. GRÁFICOS
# ==========================================

# --- A. TIEMPO ---
p_time = figure(width=600, height=300)
style_math_axes(p_time, x_range=(-RANGO_T, RANGO_T), y_range=(-1.2, 1.6), 
                xlabel="t", ylabel=r"$$\tilde{x}(\alpha t - t_d)$$")

add_math_ticks(p_time, yticks=[-1, 1], ytick_labels=["-1", "1"], tick_len=10)

p_time.line('t', 'y', source=source_ghost, line_dash='dashed', color=COLOR_SIG, alpha=0.3, line_width=1.5)
p_time.line('t', 'y', source=source_sig, color=COLOR_SIG, line_width=2.5)

p_time.segment(x0='x', y0=-0.1, x1='x', y1=0.1, source=source_marker, color="black", line_width=1)
p_time.text(x='x', y=-0.25, text='text', source=source_marker, text_align='center', text_font_style='italic')

# Cota T0
arrow_head = NormalHead(fill_color="black", size=8, line_color="black")
p_time.add_layout(Arrow(end=arrow_head, x_start='x_start', y_start='y_start', x_end='x_end', y_end='y_end', 
                        source=source_dim, line_color="black", line_width=1))
p_time.add_layout(Arrow(end=arrow_head, x_start='x_end', y_start='y_end', x_end='x_start', y_end='y_start', 
                        source=source_dim, line_color="black", line_width=1))

lbl_t0 = Label(x=T_period/2, y=1.25, text=r"$$T_0$$", text_align='center', text_baseline='bottom', text_color="black")
p_time.add_layout(lbl_t0)


# --- B. FRECUENCIA ---

# 1. MAGNITUD
p_mag = figure(width=300, height=200, name="plot_polar")
style_math_axes(p_mag, x_range=(-K_MAX-1, K_MAX+1), y_range=(0, 0.6), xlabel="k", ylabel=r"$$|c_k|$$")
p_mag.segment(x0='k', y0='zeros', x1='k', y1='mag', source=source_freq, color=COLOR_SIG, line_width=2)
p_mag.scatter('k', 'mag', source=source_freq, color=COLOR_SIG, size=6, marker="circle")

# 2. FASE
p_phase = figure(width=300, height=200, name="plot_polar")
style_math_axes(p_phase, x_range=(-K_MAX-1, K_MAX+1), y_range=(-3.5, 3.5), xlabel="k", ylabel=r"$$\angle c_k$$")

# Ticks Fase: -pi, -pi/2, pi/2, pi (sin el 0)
add_math_ticks(p_phase, 
               yticks=[-np.pi, -np.pi/2, np.pi/2, np.pi], 
               ytick_labels=[r"$$-\pi$$", r"$$-\frac{\pi}{2}$$", r"$$\frac{\pi}{2}$$", r"$$\pi$$"], 
               tick_len=10) 

p_phase.line([-100, 100], [np.pi, np.pi], line_dash='dashed', color='gray', alpha=0.3)
p_phase.line([-100, 100], [-np.pi, -np.pi], line_dash='dashed', color='gray', alpha=0.3)
p_phase.line('k', 'phase_trend', source=source_freq, line_dash='dotted', color=COLOR_TREND, alpha=0.8, line_width=1.5)
p_phase.segment(x0='k', y0='zeros', x1='k', y1='phase', source=source_freq, color=COLOR_PHASE, line_width=2)
p_phase.scatter('k', 'phase', source=source_freq, color=COLOR_PHASE, size=6, marker="circle")

# 3. REAL / IMAG (Ocultos)
p_real = figure(width=300, height=200, name="plot_rect", visible=False)
style_math_axes(p_real, x_range=(-K_MAX-1, K_MAX+1), y_range=(-0.6, 0.6), xlabel="k", ylabel=r"$$Re\{c_k\}$$")
p_real.segment(x0='k', y0='zeros', x1='k', y1='re', source=source_freq, color=COLOR_SIG, line_width=2)
p_real.scatter('k', 're', source=source_freq, color=COLOR_SIG, size=6, marker="circle")

p_imag = figure(width=300, height=200, name="plot_rect", visible=False)
style_math_axes(p_imag, x_range=(-K_MAX-1, K_MAX+1), y_range=(-0.6, 0.6), xlabel="k", ylabel=r"$$Im\{c_k\}$$")
p_imag.segment(x0='k', y0='zeros', x1='k', y1='im', source=source_freq, color=COLOR_PHASE, line_width=2)
p_imag.scatter('k', 'im', source=source_freq, color=COLOR_PHASE, size=6, marker="circle")


# ==========================================
# 4. INTERACCIÓN
# ==========================================
s_td = Slider(start=0, end=5.0, value=VAL_TD_INIT, step=0.1, title=r"Desplazamiento (td)")
s_sep = Slider(start=2.0, end=6.0, value=VAL_SEP_INIT, step=0.1, title=r"Separación (Periodo/Ancho)")
s_scale = Slider(start=0.5, end=2.0, value=VAL_SCALE_INIT, step=0.1, title="Escala Temporal (α)")
view_selector = RadioButtonGroup(labels=["Magnitud / Fase", "Real / Imaginaria"], active=0)

btn_reset = Button(label="Reset Parámetros", button_type="default", width=150)

# Callback Reset
callback_reset = CustomJS(
    args=dict(s_td=s_td, s_sep=s_sep, s_scale=s_scale, 
              v_td=VAL_TD_INIT, v_sep=VAL_SEP_INIT, v_scale=VAL_SCALE_INIT),
    code="""
    s_td.value = v_td;
    s_sep.value = v_sep;
    s_scale.value = v_scale;
""")
btn_reset.js_on_event('button_click', callback_reset)

# Callback Cálculo
callback_calc = CustomJS(
    args=dict(source_sig=source_sig, source_ghost=source_ghost,
              source_marker=source_marker, source_freq=source_freq,
              source_dim=source_dim, lbl_t0=lbl_t0,
              s_td=s_td, s_sep=s_sep, s_scale=s_scale),
    code="""
    const td = s_td.value;
    const sep_factor = s_sep.value;
    const scale = s_scale.value; 
    
    // FISICA BASE
    const WIDTH_BASE = 1.0;
    const DIST_BASE = sep_factor * WIDTH_BASE;
    const T_PERIOD_BASE = 2 * DIST_BASE;
    const W0_BASE = 2 * Math.PI / T_PERIOD_BASE;
    const width_curr = WIDTH_BASE * scale;
    
    // 1. TIEMPO
    const t = source_sig.data['t'];
    const y = source_sig.data['y'];
    const y_g = source_ghost.data['y'];
    
    for(let i=0; i<t.length; i++) { y[i]=0; y_g[i]=0; }
    
    for (let k = -12; k <= 12; k++) {
        let sign = (Math.abs(k) % 2 === 0) ? 1 : -1;
        let center = scale * (k * DIST_BASE + td);
        let center_g = scale * (k * DIST_BASE);
        for (let i = 0; i < t.length; i++) {
            let val = 1 - Math.abs(t[i] - center) / width_curr;
            if (val > 0) y[i] += sign * val;
            let val_g = 1 - Math.abs(t[i] - center_g) / width_curr;
            if (val_g > 0) y_g[i] += sign * val_g;
        }
    }
    source_sig.change.emit();
    source_ghost.change.emit();
    source_marker.data['x'][0] = td * scale; 
    source_marker.change.emit();
    
    // 2. COTA T0
    const x0 = scale * td;
    const x1 = scale * (2 * DIST_BASE + td);
    source_dim.data['x_start'][0] = x0;
    source_dim.data['x_end'][0] = x1;
    lbl_t0.x = (x0 + x1) / 2;

    // 3. FRECUENCIA
    const k_arr = source_freq.data['k'];
    const mag = source_freq.data['mag'];
    const ph = source_freq.data['phase'];
    const ph_trend = source_freq.data['phase_trend'];
    const re = source_freq.data['re'];
    const im = source_freq.data['im'];
    const two_pi = 2 * Math.PI;
    const scale_amp = 1.0 / sep_factor;

    for (let i = 0; i < k_arr.length; i++) {
        let k = k_arr[i];
        let angle = -k * W0_BASE * td;
        let wrapped = ((angle + Math.PI) % two_pi);
        if (wrapped < 0) wrapped += two_pi;
        wrapped -= Math.PI;
        ph_trend[i] = wrapped;

        if (k % 2 === 0) {
            mag[i]=0; ph[i]=0; re[i]=0; im[i]=0;
        } else {
            let arg = k * Math.PI / (2 * sep_factor);
            let sinc_val = (Math.abs(arg) < 1e-9) ? 1.0 : Math.sin(arg)/arg;
            let m = (sinc_val * sinc_val) * scale_amp;
            mag[i] = m;
            re[i] = m * Math.cos(angle);
            im[i] = m * Math.sin(angle);
            if (m < 1e-5) ph[i] = 0;
            else ph[i] = wrapped;
        }
    }
    source_freq.change.emit();
""")

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s_sep.js_on_change('value', callback_calc)
s_scale.js_on_change('value', callback_calc)

callback_view = CustomJS(
    args=dict(p_mag=p_mag, p_phase=p_phase, p_real=p_real, p_imag=p_imag),
    code="""
    if (cb_obj.active === 0) {
        p_mag.visible = true;
        p_phase.visible = true;
        p_real.visible = false;
        p_imag.visible = false;
    } else {
        p_mag.visible = false;
        p_phase.visible = false;
        p_real.visible = true;
        p_imag.visible = true;
    }
""")
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# ==========================================
# 5. CAPTION
# ==========================================
texto_caption = """
<div style="font-family: sans-serif; margin-top: 10px; font-size: 14px; opacity: 0.8;">
    <b>Propiedades de la Serie de Fourier.</b> Desplazamiento en el tiempo, simetría y conjugación, y escalado temporal.
</div>
"""
caption = Div(text=texto_caption)

# ==========================================
# 6. LAYOUT
# ==========================================
controls = column(s_td, s_sep, s_scale, btn_reset, view_selector)
freq_row = row(p_mag, p_phase, p_real, p_imag)

layout = column(controls, p_time, freq_row, caption, sizing_mode="scale_width")

show(layout)

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Convolución periódica¶

Convolución periódica

Consideramos dos señales $\tilde{x}(t)$ e $\tilde{y}(t)$ con el mismo periodo $T_0$ .

\tilde{x}(t) \SF c_k\\ \tilde{y}(t) \SF d_k\\

\boxed{\tilde{z}(t)=\tilde{x}(t)\circledast\tilde{y}(t)=\int_{\langle T_0\rangle} \tilde{x}(\tau)\tilde{y}(t-\tau)d\tau \SF a_k=T_0 c_k\,d_k}

(34)

La convolución periódica ( $\circledast$ ) es una operación distinta de la convolución lineal^[6], ya que está definida sólo para señales periódicas y la integral se restringe a cualquier intervalo de longitud $T_0$ .
La convolución periódica se puede calcular como la convolución lineal de una de las señales periódicas con un período de la otra^[7]:

\begin{split} \tilde{x}(t)\circledast\tilde{y}(t) &=\int_{\langle T_0\rangle} \tilde{x}(\tau)\tilde{y}(t-\tau)d\tau \\ &= x(t)\ast\tilde{y}(t) = \int_{-\infty}^\infty x(\tau)\tilde{y}(t-\tau)d\tau, \end{split}

(35)

siendo:

x(t)=\begin{cases} \tilde{x}(t), & t\in \langle T_0 \rangle,\\ 0, & \text{resto.} \end{cases}

(36)

Solution to Exercise 7

Se puede comprobar fácilmente que la señal $\tilde{z}(t)=\tilde{y}(t)\circledast\tilde{x}(t)$ corresponde a un tren de pulsos triangulares periódico de altura de pico $T_0/2$ .

La serie de Fourier correspondiente a $\tilde{x}(t)=\tilde{y}(t)$ está en la Table 2. Para $T_1=T_0/4$ :

\tilde{x}(t)=\tilde{y}(t) \SF c_k=\frac{\sen(k\pi/2)}{k\pi}=\frac{1}{2}\sinc\left(\frac{k}{2}\right)

(39)

Serie de Fourier de la señal cuadrada periódica.

La serie de Fourier correspondiente a $\tilde{z}(t)$ será:

\tilde{z}(t)=\tilde{y}(t)\circledast\tilde{x}(t) \SF a_k=T_0 c^2_k = \frac{T_0}{4}\sinc^2\left(\frac{k}{2}\right).

(40)

Serie de Fourier de la señal triangular periódica.

Multiplicación¶

Solution to Exercise 8

Como las dos señales que multiplicamos tienen distinta frecuencia (y periodo) fundamental, calculamos el periodo común:

\begin{split} \tilde{x}_1(t) &=\cos(2\pi t), \quad \omega_{01}=2\pi, \; T_{01}=1,\\ \tilde{x}_2(t) &=\cos(10\pi t+\pi/4), \quad \omega_{02}=10\pi, \; T_{02}=1/5. \end{split}

(44)

\begin{split} \omega_0 &=\text{MCD}\{2\pi, 10\pi\}=2\pi,\\ T_0 &=\text{mcm}\{1, 1/5\}=1. \end{split}

(45)

Obteniendo el desarrollo en serie de Fourier de ambas señales:

\tilde{x}_1(t) = \frac{e^{j\omega_0 t}+e^{-j\omega_0 t}}{2} \SF c_k=\begin{cases} \frac{1}{2}, & k=\pm 1,\\ 0, & k\neq \pm 1. \end{cases}

(46)

\tilde{x}_2(t) = \frac{e^{j(5\omega_0 t+\pi/4)}+e^{-j(\omega_0 t+\pi/4)}}{2} \SF d_k

(47)

d_k=\begin{cases} \frac{1}{2}e^{-j\pi/4}, & k=-5,\\ \frac{1}{2}e^{j\pi/4}, & k=5,\\ 0, & k\neq \pm 5. \end{cases}

(48)

La serie de Fourier de la señal producto de ambas:

\tilde{x}(t)=\tilde{x}_1(t)\tilde{x}_2(t) \SF a_k=\sum_{l=-\infty}^\infty c_l d_{k-l} = c_k\ast d_k

(49)

Sustituyendo:

a_k=c_{-1} d_{k+1}+c_1 d_{k-1} = \frac{1}{2} d_{k+1} + \frac{1}{2} d_{k-1} = \begin{cases} \frac{1}{4}e^{-j\pi/4}, & k=-6,\\ \frac{1}{4}e^{-j\pi/4}, & k=-4,\\ \frac{1}{4}e^{j\pi/4}, & k=4,\\ \frac{1}{4}e^{jpi/4}, & k=6,\\ 0, & \text{resto.} \end{cases}

(50)

La convolución también se puede hacer poniendo los coeficientes de las series de Fourier como suma de deltas discretas:

\begin{split} c_k &=\frac{1}{2}\delta[n+1]+\frac{1}{2}\delta[n-1],\\ d_k &=\frac{1}{2}e^{-j\pi/4}\delta[n+5]+\frac{1}{2}e^{j\pi/4}\delta[n-5],\\ a_k &= \left(\frac{1}{2}\delta[n+1]+\frac{1}{2}\delta[n-1]\right)\ast\left(\frac{e^{-j\pi/4}}{2}\delta[n+5]+\frac{e^{j\pi/4}}{2}\delta[n-5]\right)\\ & = \frac{1}{2}e^{-j\pi/4}\delta[n+6]+\frac{1}{2}e^{-j\pi/4}\delta[n+4]\\ & + \frac{1}{2}e^{j\pi/4}\delta[n-4]+\frac{1}{2}e^{j\pi/4}\delta[n-6]. \end{split}

(51)

Vamos a comprobarlo utilizando identidades trigonométricas e identificando con la ecuación de síntesis directamente:

\cos(\alpha)\cos(\beta)=\frac{1}{2}\left[cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)\right]

(52)

\begin{split} \tilde{x}(t) &=\frac{1}{2}\left[cos(12\pi t+\pi/4)+cos(8\pi t+\pi/4)\right] \\ & = \frac{1}{2}\left[\frac{e^{j(12\pi t+\pi/4)}+e^{-j(12\pi t+\pi/4)}}{2}\right] + \frac{1}{2}\left[\frac{e^{j(8\pi t+\pi/4)}+e^{-j(8\pi t+\pi/4)}}{2}\right] \end{split}

(53)

\begin{split} \omega_0 &=\text{MCD}\{12\pi, 8\pi\}=4\pi,\\ T_0 &=\text{mcm}\{1/6, 1/4\}=1/2. \end{split}

(54)

\begin{split} \tilde{x}(t)=\underbrace{\frac{1}{4}e^{-j\pi/4}}_{c_{-3}}e{-j3\omega_0 t}+\underbrace{\frac{1}{4}e^{-j\pi/4}}_{c_{-2}}e{-j2\omega_0 t}\\ +\underbrace{\frac{1}{4}e^{j\pi/4}}_{c_2}e{j2\omega_0 t}+\underbrace{\frac{1}{4}e^{j\pi/4}}_{c_3}e{j3\omega_0 t} \end{split}

(55)

Derivación e integración¶

Solution to Exercise 9

\begin{split} \tilde{y}(t) &=\frac{d\tilde{x}(t)}{dt} = -2\pi\sen(2\pi t) \SF d_k=jk\omega_0 c_k \\ & \omega_0=2\pi, T_0=1. \end{split}

(59)

d_k = jk2\pi c_k=\begin{cases} j(-1)2\pi\frac{1}{2}=-j\pi, & k=-1,\\ j(1)2\pi\frac{1}{2}=j\pi, & k=1,\\ 0, & k\neq \pm 1. \end{cases}

(60)

Vamos a comprobarlo identificando con la ecuación de síntesis directamente:

\tilde{y}(t) =-2\pi\sen(2\pi t)=-2\pi\frac{e^{j2\pi t}-e^{-j2\pi t}}{2j} =j\pi\left(e^{j2\pi t}-e^{-j2\pi t}\right).

(61)

Solution to Exercise 10

La señal derivada:

\tilde{x}(t)=\frac{d\tilde{z}(t)}{dt} = \begin{cases} 1, & -\frac{T_0}{2}<t<0,\\ -1, & 0<t<\frac{T_0}{2},\\ & \text{Período } T_0. \end{cases}

(63)

Su serie de Fourier:

\tilde{x}(t)=\frac{d\tilde{z}(t)}{dt} \SF b_k=jk\omega_0 a_k =jk\frac{2\pi}{\cancel{T_0}}\frac{\cancel{T_0}}{4}\sinc^2\left(\frac{k}{2}\right)

(64)

\begin{split} b_k &=j\frac{k\pi}{2}\sinc^2\left(\frac{k}{2}\right) = j\frac{k\pi}{2}\left(\frac{\sen(k\pi/2)}{k\pi/2}\right)^2\\ &= j\frac{2}{k\pi}\sen^2\left(\frac{k\pi}{2}\right), \end{split}

(65)

b_k=\begin{cases} 0, & k \text{ par},\\ j\frac{2}{k\pi}, & k \text{ impar}. \end{cases}

(66)

Relación de Parseval¶

Solution to Exercise 11

\begin{split} \tilde{x}(t) &=\cos(2\pi t) \SF c_k=\begin{cases} \frac{1}{2}, & k=\pm 1,\\ 0, & k\neq \pm 1. \end{cases}\\ & \omega_0=2\pi, T_0=1. \end{split}

(69)

\begin{split} E_\infty &=\infty \qquad \text{Por ser periódica.}\\ P_\infty &=\int_{\langle T_0\rangle} |x(t)|^2 dt=\sum_{k=-\infty}^\infty |c_k|^2 = c_{-1}^2+c^2_1=\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{2}. \end{split}

(70)

Valor medio y valor en el origen¶

Solution to Exercise 12

\begin{split} \tilde{x}_1(t) &=\cos(\pi t) \SF c_k=\begin{cases} \frac{1}{2}, & k=\pm 1,\\ 0, & k\neq \pm 1. \end{cases}\\ & \omega_0=\pi, T_0=2. \end{split}

(74)

\begin{split} \tilde{x}_2(t) &=\sen(\pi t) \SF d_k=\begin{cases} -\frac{1}{2j}, & k=-1,\\ \frac{1}{2j}, & k=1,\\ 0, & k\neq \pm 1. \end{cases}\\ & \omega_0=\pi, T_0=2. \end{split}

(75)

\begin{split} \tilde{x}_{1,\text{AV}}=\frac{1}{2}\int_0^2 \tilde{x}_1(t)dt=c_0=0,\\ \tilde{x}_{2,\text{AV}}=\frac{1}{2}\int_0^2 \tilde{x}_2(t)dt=d_0=0.\\ \end{split}

(76)

\begin{split} \tilde{x}_{1}(0)=\sum_{k=-\infty}^\infty c_k=c_{-1}+c_1=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1,\\ \tilde{x}_{2}(0)=\sum_{k=-\infty}^\infty d_k=d_{-1}+d_1=-\frac{1}{2j}+\frac{1}{2j}=0.\\ \end{split}

(77)