Las exponenciales complejas discretas de la forma z n z^n z n z = r ⋅ e j Ω z=r \cdot e^{j\Omega} z = r ⋅ e j Ω
y [ n ] = x [ n ] ∗ h [ n ] = ∑ k h [ k ] z 0 n − k = z n ( ∑ k = − ∞ ∞ h [ k ] z 0 − k ) = z 0 n H ( z 0 ) , y[n]=x[n]*h[n]= \sum_{k} h[k] z_0^{n-k} = z^n \left(\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k]z_{0}^{-k} \right) = z_{0}^{n} H(z_0), y [ n ] = x [ n ] ∗ h [ n ] = k ∑ h [ k ] z 0 n − k = z n ( k = − ∞ ∑ ∞ h [ k ] z 0 − k ) = z 0 n H ( z 0 ) , siendo H ( z 0 ) H(z_0) H ( z 0 ) h [ n ] h[n] h [ n ] z 0 = ∣ z 0 ∣ e j Ω 0 z_0=|z_0|e^{j\Omega_{0}} z 0 = ∣ z 0 ∣ e j Ω 0
Entonces, definimos la ecuación de análisis de la transformada Z :
X ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] z − n . \boxed{X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n] z^{-n}}. X ( z ) = n = − ∞ ∑ ∞ x [ n ] z − n . La transformada Z se puede relacionar con la transformada de Fourier en tiempo discreto cuando el módulo de z z z z = e j Ω z=e^{j\Omega} z = e j Ω
X ( z ) → { z = e j Ω } → X ( Ω ) = X ( z ) . X(z) \rightarrow \{z=e^{j\Omega}\} \rightarrow X(\Omega) = X(z). X ( z ) → { z = e j Ω } → X ( Ω ) = X ( z ) . La transformada Z puede expresarse también como un caso específico de la transformada de Fourier:
X ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] z − n = ∑ n = − ∞ ∞ ( x [ n ] r − n ) e − j Ω n = F { x [ n ] r − n } . X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]z^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} (x[n]r^{-n})e^{-j\Omega n} = \mathcal{F} \{x[n]r^{-n}\}. X ( z ) = n = − ∞ ∑ ∞ x [ n ] z − n = n = − ∞ ∑ ∞ ( x [ n ] r − n ) e − j Ω n = F { x [ n ] r − n } . Debido a la importancia que tienen en este tema, se muestran las fórmulas para obtener polos y ceros (usadas más adelante):
lim z → z 0 ∣ X ( z ) ∣ = ∞ . \boxed{\lim_{z\to z_0} |X(z)| = \infty.} z → z 0 lim ∣ X ( z ) ∣ = ∞. lim z → z 0 X ( z ) = 0. \boxed{\lim_{z\to z_0} X(z) = 0.} z → z 0 lim X ( z ) = 0.
