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Análisis de Fourier para señales en tiempo continuo

Introducción

En el Tema 1 de la asignatura se han caracterizado las señales como distribuciones de una determinada magnitud con respecto a una variable independiente, típicamente el tiempo. Posteriormente, en el Tema 2, se ha abordado la caracterización de los sistemas lineales e invariantes en el tiempo (LTI) en el dominio de esta misma variable, es decir, en el dominio temporal.

Señal de electrocardiograma.

Figure 1:Señal de electrocardiograma.

Señal de audio.

Figure 2:Señal de audio.

La formalización de la respuesta al impulso de los sistemas LTI ha proporcionado una herramienta de gran utilidad, ya que una única señal, la respuesta al impulso del sistema, permite predecir su comportamiento ante cualquier señal de entrada y, en último término, caracterizar propiedades fundamentales como la estabilidad, la causalidad o la presencia de memoria.

No obstante, la caracterización de señales y sistemas en el dominio temporal se basa en una operación relativamente compleja como es la convolución, lo que dificulta tanto la interpretación cualitativa de la transformación que lleva a cabo un sistema LTI como la predicción directa de la forma de la señal de salida ante una entrada dada.

Diagrama de bloques de un sistema: y(t)=T\{x(t)\}.

Figure 3:Diagrama de bloques de un sistema: y(t)=T{x(t)}y(t)=T\{x(t)\}.

En el presente tema se introduce una caracterización alternativa en el dominio espectral, o dominio de la frecuencia para señales en tiempo continuo. La ventaja de esta representación es doble:

  • Por un lado, la descripción de las señales y los sistemas en términos de su contenido frecuencial conecta de forma natural con fenómenos físicos cotidianos.

  • Por otro lado, el efecto de un sistema LTI sobre una señal de entrada se describe en términos de una operación mucho más sencilla que la convolución con la respuesta al impulso h(t)h(t): la relación entrada-salida se reduce al producto por una respuesta en frecuencia H(ω)H(\omega).

Ejemplo 1: El tono de las notas musicales

La diferencia entre dos notas musicales de una misma octava está asociada a su frecuencia o armónico fundamental.

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Ejemplo 2: el timbre de los instrumentos musicales

El timbre de un instrumento viene determinado por la distinta combinación de armónicos que lo componen.

El instrumento o su caja de resonancia son un sistema LTI que modifica la señal de entrada, que es el sonido (fundamental con armónicos de frecuencias múltiplos de la fundamental) generado al pulsar una cuerda o producir una onda dentro del tubo.

Por tanto, tendrá su respuesta al impulso, que en frecuencia (su respuesta en frecuencia) modifica la contribución de cada uno de los armónicos originados dentro del intrumento.

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Ejemplo 3: Receptor de radio

La coexistencia de múltiples emisoras de radio en un mismo medio físico es posible gracias a la modulación de cada señal en torno a una frecuencia portadora distinta.

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Ejemplo 4: Modelo fuente-filtro del habla

El habla se puede modelar como la salida de un sistema lineal. La entrada es la vibración de las cuerdas vocales (periódica) o el aire turbulento (ruido), y el sistema es el tracto vocal (boca y garganta), que modifica esta señal. Dado que movemos la boca al hablar, la respuesta al impulso del sistema es variante en el tiempo; sin embargo, para cada fonema individual, podemos analizarlo como un sistema LTI fijo (mientras no cambiemos la articulación).

En el dominio de la frecuencia, este sistema introduce picos de resonancia llamados formantes: el primero (F1F_1) depende de la apertura de la boca (frecuencias inferiores a 1000 Hz) y el segundo (F2F_2) de la posición de la lengua.

En la gráfica interactiva inferior se descompone la palabra ‘Eso’. Se puede ver claramente la diferencia entre la entrada periódica de las vocales —cuyos armónicos se ven amplificados por los formantes— y la naturaleza ruidosa y aperiódica de la ‘s’, generada por la fricción del aire contra los dientes.

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