Señales continuas y discretas¶

La información de una señal está contenida en un patrón de variaciones con una forma determinada.

Introducción¶

Ejemplo 1: señal de voz humana (variaciones de presión acústica).

Distintos patrones de variación producen distintos sonidos:

from bokeh.plotting import figure, show, output_notebook
from bokeh.models import ColumnDataSource, Span, HoverTool, Title
import numpy as np

output_notebook(verbose=False, hide_banner=True);

# ==== PARÁMETROS ====
sr = 16000  # frecuencia de muestreo
dur = 0.5   # segundos por letra
t_segment = np.linspace(0, dur, int(sr*dur), endpoint=False)

def envelope(t, attack=0.01, decay=0.25):
    env = np.ones_like(t)
    env *= np.minimum(1.0, t/attack)
    env *= np.exp(-t/decay)
    return env

# ==== SINTETIZAR LETRAS ====
# L
f0 = 120.0
harmonics = [1.0, 0.6, 0.3, 0.15]
sig_L = np.zeros_like(t_segment)
for i, a in enumerate(harmonics, start=1):
    sig_L += a * np.sin(2*np.pi*f0*i*t_segment)
sig_L *= envelope(t_segment, attack=0.02, decay=0.4)

# T
noise = np.random.normal(0, 1, size=t_segment.shape)
burst = np.zeros_like(t_segment)
burst_len = int(0.02*sr)
burst[:burst_len] = noise[:burst_len] * np.hanning(burst_len)
sig_T = burst * envelope(t_segment, attack=0.001, decay=0.1) + 0.02 * np.sin(2*np.pi*800*t_segment) * np.exp(-5*t_segment)

# I
f0_i = 160.0
formants = [2200, 3000]
sig_I = 0.6*np.sin(2*np.pi*f0_i*t_segment) * envelope(t_segment, attack=0.01, decay=0.5)
for fm in formants:
    sig_I += 0.3 * np.sin(2*np.pi*fm*t_segment) * envelope(t_segment, attack=0.01, decay=0.4)

# Normalizar
def norm(x): return x / (np.max(np.abs(x)) + 1e-9)
sig_L, sig_T, sig_I = map(norm, [sig_L, sig_T, sig_I])

# ==== CONCATENAR ====
gap = np.zeros(int(0.05*sr))
wave = np.concatenate([sig_L, gap, sig_T, gap, sig_I])
t_full = np.linspace(0, len(wave)/sr, len(wave), endpoint=False)

# ==== LÍMITES ====
start_L = 0
end_L = len(sig_L)
start_T = end_L + len(gap)
end_T = start_T + len(sig_T)
start_I = end_T + len(gap)
end_I = start_I + len(sig_I)

# ==== FUENTES DE DATOS ====
src_L = ColumnDataSource(data=dict(time=t_full[start_L:end_L], amp=sig_L, letter=["L"]*len(sig_L)))
src_T = ColumnDataSource(data=dict(time=t_full[start_T:end_T], amp=sig_T, letter=["T"]*len(sig_T)))
src_I = ColumnDataSource(data=dict(time=t_full[start_I:end_I], amp=sig_I, letter=["I"]*len(sig_I)))

# ==== GRAFICAR ====
TOOLS = "pan,wheel_zoom,box_zoom,reset,save,hover"
p = figure(title="Onda de audio: Pronunciación sintetizada de las letras L, T e I", 
            sizing_mode="stretch_width",
            max_width=800,
            height=400, 
            tools=TOOLS)

# Líneas por letra
p.line('time', 'amp', source=src_L, color="blue", line_width=2)
p.line('time', 'amp', source=src_T, color="green", line_width=2)
p.line('time', 'amp', source=src_I, color="red", line_width=2)

# Líneas divisorias
v1 = Span(location=end_L/sr, dimension='height', line_dash='dashed', line_width=1, line_color="gray")
v2 = Span(location=end_T/sr, dimension='height', line_dash='dashed', line_width=1, line_color="gray")
p.add_layout(v1)
p.add_layout(v2)

# Etiquetas ejes
p.xaxis.axis_label = "Tiempo (s)"
p.yaxis.axis_label = "Amplitud"
p.toolbar.logo = None

# ==== HOVER TOOL ====
hover = HoverTool(
    tooltips=[
        ("Letra", "@letter"),
        ("Tiempo (s)", "@time{0.000}"),
        ("Amplitud", "@amp{0.000}")
    ],
    mode="vline"  # muestra valores verticalmente alineados
)
p.add_tools(hover)

# ==== CAPTION (debajo) ====
# p.add_layout(Title(text="Distintos patrones de variación producen distintos sonidos.", 
#                    text_font_size="10pt", text_color="gray"), 'below')

# ==== MOSTRAR ====
show(p)

Loading...

Ejemplo 2: fotografía (blanco y negro).

Señal bidimensional. Variaciones del nivel de gris.

from PIL import Image
import numpy as np
from bokeh.plotting import figure, show, output_notebook
from bokeh.models import HoverTool, LinearColorMapper, ColorBar

output_notebook(verbose=False, hide_banner=True);

# ===== LOAD IMAGE =====
img = Image.open("figures\\cameraman ").convert("L")
img_array = np.array(img)
img_array = np.flipud(img_array)  # flip vertically

h, w = img_array.shape

# ===== NORMALIZE FOR COLOR MAPPING =====
color_mapper = LinearColorMapper(palette="Greys256", low=0, high=255);

# ===== CREATE FIGURE =====
p = figure(
    width=400, height=400,
    x_range=(0, w), y_range=(0, h),
    tools="hover,pan,box_zoom,reset,save"
);

# Remove ticks and grid
p.axis.visible = False
p.grid.visible = False

# Display image
p.image(image=[img_array], x=0, y=0, dw=w, dh=h, color_mapper=color_mapper);

# Add color bar
color_bar = ColorBar(color_mapper=color_mapper, label_standoff=12, location=(0,0));
# p.add_layout(color_bar, 'right')

# Hover tooltips (pixel coordinates)
hover = p.select_one(HoverTool);
hover.tooltips = [
    ("Intensity", "@image")  # @image references the value under the mouse
]
hover.mode = 'mouse';

show(p);

Loading...

from PIL import Image
import numpy as np
import plotly.graph_objects as go

# ===== LOAD IMAGE =====
img = Image.open("figures\\cameraman ").convert("L")
img_array = np.array(img)

# Flip vertically so top is at top
img_array = np.flipud(img_array)

h, w = img_array.shape
X, Y = np.meshgrid(np.arange(w), np.arange(h))
Z = img_array  # intensity as height

# ===== PLOTLY SURFACE =====
fig = go.Figure(data=[
    go.Surface(
        x=X,
        y=Y,
        z=Z,
        colorscale='gray',
        showscale=False,
        colorbar=dict(title='Intensity')
    )
])

fig.update_layout(
    # title='Variaciones del nivel de gris de la imagen',
    scene=dict(
        xaxis_title='X',
        yaxis_title='Y',
        zaxis_title='Intensity',

        # <<--- camera / default view
        # camera=dict(eye=dict(x=.0, y=-.1, z=3))
    ),
    width=600,
    height=400,
    margin=dict(l=0, r=0, b=0, t=0)
)

fig.show()

Loading...

Representación matemática: funciones de una o más variables independientes.

Aquí sólo nos ocuparemos de señales con una variable independiente.

En general, consideramos que es el tiempo: $x(t)$ (aunque no tiene por qué).

Vamos a considerar dos tipos básicos de señales:

Continuas: la variable independiente es continua $\Rightarrow$ se definen para una sucesión continua de valores de la variable independiente.
Notación: $\boxed{x(t)}$ , con $t\in\real$ .

Ejemplos: señal de voz con el tiempo, presión atmosférica con altitud.

Discretas: la variable independiente sólo toma un conjunto discreto de valores. También se las llama secuencia discreta.
Notación: $\boxed{x[n]}$ , con $n\in\Z$ .

Ejemplos: valor del IBEX-35 al final de cada sesión, muestreo de señales continuas (muestras equiespaciadas).

Se mostrarán las señales continuas y discretas de forma paralela, para irlas relacionando. En el capítulo de muestreo (7), veremos cómo se puede pasar de unas a otras, idealmente sin error.

Clases de señales¶

Veremos a continuación distintos tipos de señales que tendrán importancia a lo largo de toda la asignatura.

Real e imaginaria: simetría respecto a la conjugación.
- Real pura: simétrica respecto a la conjugación.
  $x^*(t)=x(t),$
  (1)
  $x^*[n]=x[n].$
  (2)
- Imaginaria pura: antisimétrica respecto a la conjugación.
  $x^*(t)=-x(t),$
  (3)
  $x^*[n]=-x[n].$
  (4)
Par e impar: simetría respecto a la inversión en el tiempo. Se aplica a señales reales.
- Par: simétrica respecto al eje de ordenadas.
  $x(-t)=x(t),$
  (5)
  $x[-n]=x[n].$
  (6)
- Impar: antisimétrica respecto al eje de ordenadas.
  $x(-t)=-x(t),$
  (7)
  $x[-n]=-x[n].$
  (8)
  En el origen, como $x(0)=-x(0)$ , se cumple:
  $x(0)=0,$
  (9)
  $x[0]=0,$
  (10)
Hermítica y antihermítica: Equivalente para señales complejas.
- Hermítica: simétrica respecto al eje de ordenadas y la conjugación.
  $x^*(-t)=x(t),$
  (11)
  $x^*[-n]=x[n].$
  (12)
- Antihermítica: antisimétrica respecto al eje de ordenadas y la conjugación.
  $x^*(-t)=-x(t),$
  (13)
  $x^*[-n]=-x[n].$
  (14)

Toda señal se puede poner como suma de sus partes real e imaginaria, par e impar, hermítica y antihermítica:

x(t)=x_r(t)+x_i(t)=\Re\{x(t)\}+\Im\{x(t)\}.

(15)

x(t)=x_e(t)+x_o(t)=\mathcal{Ev}\{x(t)\}+\mathcal{Od}\{x(t)\},\quad x(t)\in\real.

(16)

x(t)=x_h(t)+x_a(t).

(17)

Las expresiones para el caso discreto son equivalentes.

Cálculo de la parte par e impar de una señal:

\begin{cases}x(t)=x_e(t)+x_o(t),\\x(-t)=x_e(-t)+x_o(-t)=x_e(t)-x_o(t)\end{cases}

(18)

\Downarrow

Parte par e impar de una señal:

\begin{cases}x_e(t)=\frac{1}{2}\left[x(t)+x(-t)\right],\\x_o(t)=\frac{1}{2}\left[x(t)-x(-t)\right]\end{cases}

(19)

Se cumple:

x_e(0)=x(0),\qquad x_e[0]=x[0].

(20)

x_o(0)=0,\qquad x_o[0]=0.

(21)

Parte real e imaginaria:

\begin{cases}x_r(t)=\frac{1}{2}\left[x(t)+x^*(t)\right],\\x_i(t)=\frac{1}{2}\left[x(t)-x^*(t)\right]\end{cases}

(22)

Parte hermítica y antihermítica:

\begin{cases} x_h(t)=\frac{1}{2}\left[x(t)+x^*(-t)\right],\\x_a(t)=\frac{1}{2}\left[x(t)-x^*(-t)\right]\end{cases}

(23)

Para el caso discreto las expresiones son equivalentes.

Ejemplo: Cálculo de la parte par e impar de una señal:

$x[n]=\begin{cases} 1, & n\ge 0,\\0, & n<0\end{cases}$

$x[-n]=\begin{cases} 1, & n\le 0,\\0, & n>0\end{cases}$

$x_e[n]=\begin{cases} 1/2, & n<0,\\1, & n=0,\\1/2, & n>0\end{cases}$

$x_o[n]=\begin{cases} -1/2, & n<0,\\0, & n=0,\\1/2, & n>0\end{cases}$

A continuación veremos otros tipos de señales: periódicas, de energía y de potencia.

Señales periódicas¶

Dada su importancia las vemos aparte.

Una señal continua, $x(t)$ , es periódica si:

\exists\ T\in\real^+ /\quad \boxed{x(t)=x(t+T)},\quad \forall t\in\real.

(24)

$T$ : periodo de la señal.

Ejemplos:

Si $x(t)$ es periódica con periodo $T$ , también lo es con periodo $mT,\ m\in\N$ .

$T_0$ : periodo fundamental de la señal. Valor más pequeño de $T$ para el que se satisface:

x(t)=x(t+T_0).

(25)

Si $x(t)$ es constante, no está definido $T_0$ , ya que es periódica para cualquier $T$ .

Señal aperiódica: si no es periódica.

Ejemplos:

x(t)=\begin{cases} \cos(t), & t<0,\\ \sin(t), & t\ge 0\end{cases}

(26)

Se cumple que $\cos(t)=\cos(t+2\pi)$ para $t<-2\pi$ y $\sin(t)=\sin(t+2\pi)$ , para $t\ge0$ , pero no se cumple $x(t)=x(t+2\pi),\ \forall t$ .

Estudiar el caso:

x(t)=\begin{cases} \cos(t), & t<0,\\ \cos(-t), & t\ge 0 \end{cases}

(27)

Una señal discreta, $x[n]$ , es periódica si:

\exists\ N\in\N /\quad \boxed{x[n]=x[n+N]},\quad \forall n\in\Z.

(28)

$N$ : periodo de la señal.

Ejemplos:

Si $x[n]$ es periódica con periodo $N$ , también lo es con periodo $mN,\ m\in\N$ .

$N_0$ : periodo fundamental de la secuencia discreta. Valor más pequeño de $N$ para el que se satisface:

x[n]=x[n+N_0].

(29)

Si $x[n]$ es constante, $N_0=1$ , que es el periodo mínimo que puede tener una señal discreta.

Señal aperiódica: si no es periódica.

Parámetros de interés¶

Vemos algunos parámetros de interés de las señales, tanto continuas como discretas.

Valor medio:
- El valor medio en un intervalo viene dado por:
  - Señales continuas:
En el intervalo $t_1\le t\le t_2$ :
$\bar{x}\overset{\Delta}{=}\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2} x(t)dt.$
(30)
Para un intervalo simétrico, $-T\le t\le T$ :
$\bar{x}\overset{\Delta}{=}\frac{1}{2T}\int_{-T}^T x(t)dt.$
(31)
- Señales discretas:
En el intervalo $n_1\le n\le n_2$ :
$\bar{x}\overset{\Delta}{=}\frac{1}{n_2-n_1+1}\sum\limits_{n=n_1}^{n_2} x[n].$
(32)
Para un intervalo simétrico, $-N\le n\le N$ :
$\bar{x}\overset{\Delta}{=}\frac{1}{2N+1}\sum\limits_{n=-N}^N x[n].$
(33)
- El valor medio viene dado por:
  - Señales continuas:
  $x_\text{AV}\overset{\Delta}{=}\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} x(t)dt=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} x(t)dt.$
  (34)
  - Señales discretas:
  $x_\text{AV}\overset{\Delta}{=}\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1}\sum\limits_{n=-N}^{N} x[n].$
  (35)
- El valor medio para señales periódicas también se puede calcular de la siguiente forma:
  - Señales continuas:
  $x_\text{AV}\overset{\Delta}{=}\frac{1}{T}\int_{<T>} x(t)dt.$
  (36)
  - Señales discretas:
  $x_\text{AV}\overset{\Delta}{=}\frac{1}{N}\sum\limits_{n\in<N>} x[n].$
  (37)
Valor de pico:
- Señales continuas:
$x_p\overset{\Delta}{=}\max\{|x(t)|,\ t\in\real\}.$
(38)
- Señales discretas:
$x_p\overset{\Delta}{=}\max\{|x[n]|,\ n\in\Z\}.$
(39)
Potencia instantánea:
Por analogía con las señales que representan magnitudes físicas, se puede hablar de potencia y energía.

Así, por ejemplo, para una resistencia, la potencia instantánea es:

p(t)=v(t)i(t)=\frac{1}{R}v^2(t)=Ri^2(t).

(40)

Vemos que es proporcional a la señal al cuadrado. En otros ejemplos ocurre lo mismo.

Señales continuas:

P_i(t)\overset{\Delta}{=}|x(t)|^2.

(41)

Señales discretas:

P_i[n]\overset{\Delta}{=}|x[n]|^2.

(42)

Energía: suma (integral) de la potencia instantánea.
- Energía total en un intervalo de tiempo:
  - Señales continuas:
    En el intervalo $t_1\le t\le t_2$ :
    $E\overset{\Delta}{=}\int_{t_1}^{t_2} |x(t)|^2dt.$
    (43)
    Para un intervalo simétrico, $-T\le t\le T$ :
    $E_T\overset{\Delta}{=}\int_{-T}^T |x(t)|^2dt.$
    (44)
  - Señales discretas:
    En el intervalo $n_1\le n\le n_2$ :
    $E\overset{\Delta}{=}\sum\limits_{n=n_1}^{n_2} |x[n]|^2.$
    (45)
    Para un intervalo simétrico, $-N\le n\le N$ :
    $E_N\overset{\Delta}{=}\sum\limits_{n=-N}^N |x[n]|^2.$
    (46)
- La energía total (en un intervalo infinito) viene dada por:
  - Señales continuas:
  $E_\infty\overset{\Delta}{=}\lim_{T\to\infty}\int_{-T}^{T} |x(t)|^2dt=\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2dt.$
  (47)
  - Señales discretas:
  $E_\infty\overset{\Delta}{=}\lim_{N\to\infty}\sum\limits_{n=-N}^{N} |x[n]|^2=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2.$
  (48)
Hay señales para las que esta integral (sumatorio) no converge, como por ejemplo:
$x_1(t)=\frac{1}{\sqrt{t}},\qquad x_2(t)=C.$
(49)
$x_1[n]=\frac{1}{\sqrt{n}},\qquad x_2[n]=C.$
(50)
En estos casos, $E_\infty=\infty.$
Por ello, nos va a interesar otra medida relacionada, que es la potencia media.
Potencia media: valor medio de la potencia instantánea.
- En general, la potencia media viene dada por:
  - Señales continuas:
  $P_\infty\overset{\Delta}{=}\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} |x(t)|^2dt=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} |x(t)|^2dt.$
  (51)
  - Señales discretas:
  $P_\infty\overset{\Delta}{=}\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1}\sum\limits_{n=-N}^{N} |x[n]|^2.$
  (52)
- En el caso particular de señales periódicas, también son aplicables las siguientes expresiones:
  - Señales continuas:
  $P_\infty\overset{\Delta}{=}\frac{1}{T}\int_{<T>} |x(t)|^2dt.$
  (53)
  - Señales discretas:
  $P_\infty\overset{\Delta}{=}\frac{1}{N}\sum\limits_{n\in<N>} |x[n]|^2.$
  (54)