Sistemas continuos y discretos¶

Según si las señales de entrada y salida son continuas o discretas, se habla de:

• Sistemas continuos: Señales continuas de entrada son transformadas en señales continuas de salida: $x(t)\ \rightarrow y(t)$.

• Sistemas discretos: Señales discretas de entrada son transformadas en señales discretas de salida: $x[n]\ \rightarrow y[n]$.

Además, existen sistemas que tienen entrada continua y salida discreta (muestreadores) y viceversa (interpoladores), que veremos en el tema de muestreo (tema 7).

Ejemplos sencillos de sistemas¶

Una de las ventajas del estudio de sistemas es que sistemas muy distintos físicamente producen expresiones matemáticas similares.

Ejemplos de sistemas continuos:

• Circuito RC:

Considerando $v_s(t)$ como la señal de entrada y $v_c(t)$ como la señal de salida, obtenemos:

Por tanto, se obtiene la siguiente ecuación diferencial que relaciona la salida con la entrada del sistema:

• Objeto móvil:

Si consideramos $f(t)$ como la señal de entrada y $v(t)$ como la señal de salida, $m$ la masa del objeto y $\rho v$ la resistencia por fricción:

Se obtiene la siguiente ecuación diferencial para el sistema:

Ambos ejemplos son matemáticamente equivalentes, pues tienen la misma ecuación diferencial, que podemos escribir:

siento $x(t)$ la señal de entrada al sistema, $y(t)$ la señal de salida y $a$ y $b$ constantes.

Ejemplos de sistemas discretos:

• Cuenta de ahorro en un banco al final de cada año:

Se obtiene la siguiente ecuación en diferencias:

o de forma equivalente,

• Simulación digital del objeto móvil:

Tomamos el tiempo en intervalos de longitud $\Delta$:

Aproximamos la derivada mediante la primera diferencia:

Por tanto, la ecuación diferencial queda:

usando las siguientes definiciones de señales discretas a partir de las continuas muestreadas:

obtenemos:

y agrupando términos:

Si finalmente dividimos la ecuación por el factor $(m+\rho\Delta)/m$:

Se puede observar que ambos son ejemplos del mismo tipo de sistema, ya que tienen la misma ecuación en diferencias:

Sistemas elementales (transformación de la variable independiente)¶

Un concepto fundamental en el análisis de señales y sistemas es el de la transformación de una señal mediante un cierto sistema. Vamos a ver algunas transformaciones elementales de señales, que serán muy importantes en el resto de la asignatura, y nos permitirán entender mejor algunas propiedades de las señales, ya vistas, como son las señales pares e impares, reales e imaginarias, hermíticas y antihermíticas (ver seccción 2. Clases de señales), señales periódicas (ver sección 2. Señales periódicas), y de sistemas, que veremos en la sección 2. .

En primer lugar veremos algunas transformaciones elementales sobre la amplitud de la señal, o sumas y diferencias sobre la señal:

• Cambio de nivel: multiplicación de la señal por una constante.

Amplificación: $A>1$. Atenuación: $A<1$.

• Conjugación:

Se ha usado en señales reales e imaginarias y hermíticas y antihermíticas.

• Integración:

• Sumación o acumulación: equivalente a la integración para señales discretas.

• Derivación: operación inversa a la integración.

• Diferenciación o primera diferencia: operación inversa a la sumación.

A continuación veremos operaciones elementales realizadas sobre la variable independiente.

• Desplazamiento o corrimiento en el tiempo:

  • Continuo:

• Discreto:

Se ha usado para definir las señales periódicas.

• Inversión en el tiempo o abatimiento: reflexión respecto al origen de tiempos.

Se ha usado para definir señales pares e impares y hermíticas y antihermíticas. Ejemplo: cinta escuchada al revés.

• Cambio de escala:

  • Continuo:

Si $x(t_0)=0,\quad at=t_0\ \Rightarrow\ t=t_0/a$.

• Discreto:

La expansión discreta o inserción de ceros se define de la siguiente forma:

Ejemplo: cambio de velocidad en disco de vinilo.

• Transformación lineal del eje de tiempos:

Conserva la forma de la señal, pero:

• $|\alpha|<1$: alarga linealmente la señal.

• $|\alpha|<1$: comprime linealmente la señal.

• $\alpha<0$: invierte en el tiempo la señal.

• $\beta\neq 0$: desplaza en el tiempo la señal.

Forma de hacerlo gráficamente de forma sistemática^[1]:

• Desplazamiento: $x(t)\ \rightarrow\ x(t+\beta)$.

• Escalamiento y/o inversión: $x(t+\beta)\ \rightarrow\ x(\alpha t+\beta)$.

Ejemplo: $x(t)\ \rightarrow\ x\left(\frac{3}{2}t+1\right).$

Podemos comprobar que en ciertos instantes temporales de interés el resultado es correcto:

• $t=-\frac{2}{3}\ \Rightarrow\ x\left(\frac{3}{2}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)+1\right)=x(-1+1)=x(0);$

• $t=0\ \Rightarrow\ x\left(\frac{3}{2}\cdot 0+1\right)=x(1);$

• $t=\frac{2}{3}\ \Rightarrow\ x\left(\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}+1\right)=x(1+1)=x(2).$