Señales elementales¶

Vamos a ver algunos tipos de señales que no sólo aparecen con frecuencia, sino que además sirven como bloques fundamentales (bases) mediante los que formar muchas otras señales más complejas.

Señales exponenciales y senoidales¶

Continuas¶

Señal exponencial compleja continua:

x(t)=C e^{st},\quad C, s\in\mathbb{C}.

(1)

C=|C|e^{j\theta},

(2)

s=\sigma+j\omega_0.

(3)

Dependiendo de las constantes $C$ y $s$ , podemos tener señales con distintas características:

Señales exponenciales reales: $C, s\in\real$ , ( $s=\sigma$ ).

x(t)=C e^{\sigma t},\quad C,\sigma\in\real.

(4)

Hay tres posibilidades, según el signo de $\sigma$ :

Creciente: $\sigma>0$ .

Ejemplos: reacciones en cadena, población con más nacimientos que defunciones.

Decreciente: $\sigma<0$ .

Ejemplos: circuitos RC, sistemas mecánicos amortiguados.

Constante: $\sigma=0$ .

Señales periódicas exponencial compleja y senoidal:
$\boxed{s=j\omega_0}\,,$
(5)
puramente imaginaria.

x(t)=C e^{j\omega_0 t},\quad C\in\mathbb{C},\ \omega_0\in\real.

(6)

Podemos expresarlas de la siguiente forma:

x(t)=|C|e^{j\theta} e^{j\omega_0 t}=|C|e^{j(\omega_0 t+\theta)}.

(7)

El caso más sencillo de exponencial compleja es para la constante $C=1$ :

x(t)=e^{j\omega_0 t}.

(8)

Son señales periódicas, ya que cumplen la ecuación (24):

x(t)=x(t+T),\ \forall t,

(9)

|C|e^{j\theta}e^{j\omega_0 t}=|C|e^{j\theta}e^{j\omega_0 (t+T)}=|C|e^{j\theta}e^{j\omega_0 t}e^{j\omega_0 T}

(10)

\Downarrow

e^{j\omega_o T}=1.

(11)

Si $\omega_0=0$ , la señal es constante, $x(t)=C$ , y es periódica, para cualquier periodo, $T$ .

Si $\omega_0\neq 0$ , para que se cumpla la condición dada por la ecuación (11), $\omega_0 T$ debe ser múltiplo de $2\pi$ , es decir:

\omega_0 T=2\pi m,\ m\in\Z.

(12)

Según la definición vista de periodo fundamental (valor mínimo del periodo), éste debe cumplir:

\omega_0 T=\pm 2\pi,

(13)

por lo que el periodo fundamental de una exponencial compleja continua es:

T_0=\frac{2\pi}{|\omega_0|}.

(14)

$\omega_0$ es la frecuencia fundamental, en rad/s, de la exponencial compleja periódica, y está relacionada con la frecuencia fundamental en Hertzios:

\omega_0=2\pi f_0.

(15)

Las exponenciales $e^{j\omega_0 t}$ y $e^{-j\omega_0 t}$ tienen el mismo periodo fundamental, $T_0$ .

Una señal muy relacionada con la exponencial compleja periódica son las señales senoidales (seno y coseno):

x(t)=A\cos(\omega_0 t +\theta).

(16)

En la ecuación (14) se observa que el periodo fundamental y la frecuencia fundamental son inversamente proporcionales. Como se ve en la siguiente gráfica, si se aumenta la frecuencia fundamental, aumenta la velocidad de oscilación y disminuye el periodo fundamental, y viceversa. Además, este incremento en la velocidad de oscilación con la frecuencia fundamental es monótono, es decir, siempre que se aumente la frecuencia fundamental de la señal exponencial compleja, aumenta la velocidad de oscilación.

A partir de la relación de Euler:

e^{j\omega_0 t}=\cos(\omega_0 t)+j\sin(\omega_0 t),

(17)

las señales senoidales también pueden ponerse en forma de exponencial compleja periódica:

A\cos(\omega_0 t+\theta)=\frac{A}{2}e^{j\theta}e^{j\omega_0 t}+\frac{A}{2}e^{-j\theta}e^{-j\omega_0 t}=A\Re\{e^{j(\omega_0 t+\theta)}\},

(18)

A\sin(\omega_0 t+\theta)=\frac{A}{2j}e^{j\theta}e^{j\omega_0 t}-\frac{A}{2j}e^{-j\theta}e^{-j\omega_0 t}=A\Im\{e^{j(\omega_0 t+\theta)}\}.

(19)

Este tipo de señales aparecen en los sistemas físicos con conservación de energía, como por ejemplo, en la respuesta natural de un circuito LC, en el movimiento armónico simple o en la presión acústica de una nota musical.

Las señales periódicas en general, y éstas en particular, son ejemplos de señales de potencia (hacemos el cálculo para $x(t)=e^{j\omega_0 t}$ ):

E_0=\int_0^{T_0}|e^{j\omega_o t}|^2 dt=\int_0^{T_0} 1dt=T_0.

(20)

Como hay un número infinito de periodos, al integrar a todo el tiempo, obtenemos una energía total:

E_{\infty}=\int_{-\infty}^{\infty}|e^{j\omega_o t}|^2 dt=\infty.

(21)

La potencia media la podemos calcular con la expresión para señales periódicas:

P_\infty=\frac{1}{T_0}\int_0^{T_0}|e^{j\omega_o t}|^2 dt=\frac{E_{T_0}}{T_0}=1,

(22)

o bien con la expresión general:

P_\infty=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|e^{j\omega_o t}|^2 dt=\lim_{T\to\infty}\frac{2T}{2T}=1.

(23)

Las señales periódicas exponenciales complejas son fundamentales para el análisis de señales y sistemas, pues se pueden emplear como base para muchas otras señales, como veremos en el tema 4.

Para ello es útil considerar conjuntos de exponenciales complejas relacionadas armónicamente:

\phi_k(t)=e^{j\omega_k t}.

(24)

Todas las exponenciales complejas relacionadas armónicamente tienen la propiedad de ser periódicas con un periodo común $T_0$ ^[1]:

x(t)=x(t+T_0)\ \Rightarrow\ e^{j\omega_k T_0}=1.

(25)

\omega_k T_0=2\pi k,\ k\in\Z.

(26)

Si definimos $\omega_0$ como^[2]:

\omega_0=\frac{2\pi}{T_0},

(27)

la frecuencia fundamental de cada una de las exponenciales complejas relacionadas armónicamente es:

\omega_k=k\omega_0.

(28)

Sus frecuencias fundamentales, $\omega_k$ , son múltiplos enteros de una sola frecuencia, $\omega_0>0$ .

\phi_k(t)=e^{jk\omega_0 t}=e^{jk\frac{2\pi}{T_0} t}.

(29)

El periodo fundamental de cada exponencial compleja relacionada armónicamente será:

\frac{2\pi}{|\omega_k|}=\frac{2\pi}{|k|\omega_0}=\frac{T_0}{|k|},\ k\in\Z,

(30)

por lo que, como ya hemos dicho, $\phi_k(t)$ es también periódica con periodo $T_0$ (múltiplo del periodo fundamental).

Además, dado que $k\in\Z$ , hay infinitas exponenciales complejas relacionadas armónicamente con un cierto periodo $T_0$ .

Señales exponenciales complejas generales:

Tienen la forma más general:

x(t)=C e^{st},\quad C,s\in\mathbb{C},

(31)

donde $s$ está dado en forma rectangular y $C$ en forma polar:

C=|C|e^{j\theta},

(32)

s=\sigma+j\omega_0.

(33)

Podemos interpretarlas a partir de los dos casos anteriores:

x(t)=Ce^{st}=|C|e^{j\theta}e^{(\sigma+j\omega_0)t}=|C|e^{\sigma t}e^{j(\omega_o t+\theta)},

(34)

y a partir de la ecuación de Euler (17):

x(t)=|C|e^{\sigma t}\cos(\omega_o t+\theta)+j|C|e^{\sigma t}\sin(\omega_o t+\theta).

(35)

Corresponden a señales oscilantes crecientes o decrecientes, con envolvente:

\pm|C|e^{\sigma t}.

(36)

Según sea el signo de $\sigma$ , tendremos:

$\sigma=0$ : exponencial compleja periódica (partes real e imaginaria senoidales periódicas).
$\sigma>0$ : exponencial compleja periódica por exponencial creciente^[3] (partes real e imaginaria senoidal por exponencial creciente).
$\sigma<0$ : exponencial compleja periódica por exponencial decreciente (partes real e imaginaria senoidal por exponencial decreciente).

En el caso real:

Ejemplos de este tipo de señales para el caso amortiguado ( $\sigma<0$ ) aparecen en circuitos RLC o en sistemas mecánicos con fuerzas de amortiguamiento y restauración.

Discretas¶

Señal exponencial compleja discreta:

x[n]=C z^n,\quad C, z\in\mathbb{C}.

(37)

C=|C|e^{j\theta},

(38)

z=|z|e^{j\Omega_0}.

(39)

Para que sea una expresión más análoga al caso continuo también se puede poner de la siguiente forma, aunque es menos habitual:

x[n]=C e^{\beta n},\quad C, \beta\in\mathbb{C},

(40)

donde

z=e^{\beta}.

(41)

Dependiendo de las constantes $C$ y $z$ , podemos tener señales con distintas características:

Señales exponenciales reales: $C, z=r\in\real$ .

Según el valor de $r$ :

$|r|>1$ : crece exponencialmente.
$|r|<1$ : decrece exponencialmente.
$r>0$ : valores del mismo signo.
$r<0$ : valores con signo alterno.
$r=1$ : valor constante.
$r=-1$ : valor alterno $\pm C$ .

Señales senoidales: $|z|=1$ .

x[n]=Ce^{j\Omega_0 n},\quad C\in\mathbb{C},\ \Omega_0\in\real.

(42)

Podemos expresarla de la siguiente forma:

x[n]=|C|e^{j\theta}e^{j\Omega_0 n}=|C|e^{j(\Omega_0 n+\theta)}.

(43)

El caso más sencillo corresponde a $C=1$ (ecuación de Euler (17)):

e^{j\Omega_0 n}=\cos(\Omega_0 n)+j\sin(\Omega_0 n).

(44)

al igual que en el caso continuo, está muy relacionada con las señales senoidales:

x[n]=A\cos(\Omega_0 n+\theta)=\frac{A}{2}e^{j\theta}e^{j\Omega_0 n}+\frac{A}{2}e^{-j\theta}e^{-j\Omega_0 n}.

(45)

De forma equivalente al caso continuo, son señales de potencia ( $E_\infty$ infinita, $P_\infty$ finita), pero en este caso no son necesariamente periódicas, como veremos en la sección Propiedades de periodicidad de las exponenciales discretas.

Señales exponenciales complejas generales:

Tienen la forma más general:

x[n]=Cz^n,\quad C, z\in\mathbb{C},

(46)

donde $C$ y $z$ están dados en forma polar:

C=|C|e^{j\theta},

(47)

z=|z|e^{j\Omega_0}.

(48)

Podemos interpretarlas a partir de los dos casos anteriores, expresando:

x[n]=Cz^n=|C||z|^n e^{j(\Omega_0 n+\theta)}=|C||z|^n \cos(\Omega_0 n+\theta)+j|C||z|^n \sin(\Omega_0 n+\theta).

(49)

Según sea $|z|$ tenemos distintos casos:

$|z|=1$ : señal senoidal (partes real e imaginaria senoidales).
$|z|>1$ : señal senoidal por exponencial creciente.
$|z|<1$ : señal senoidal por exponencial decreciente.

Propiedades de periodicidad de las exponenciales discretas¶

Para la señal periódica exponencial compleja continua hemos visto que tiene las siguientes propiedades:

$e^{j\omega_0 t}$ es periódica, $\forall$ $\omega_0$ .
Exponenciales complejas distintas para distintos valores de $\omega_0$ . Cuanto mayor sea $\omega_0$ , mayor será la velocidad de oscilación de la señal.
Existen infinitas exponenciales complejas relacionadas armónicamente con un cierto periodo dado $T_0$ .

Vamos a ver que estas propiedades son distintas para el caso de las exponenciales complejas senoidales discretas, lo que hará que haya que tener cierto cuidado al manejarlas.

Estudiaremos, sin pérdida de generalidad, las propiedades de $x[n]=e^{j\Omega_0 n}$ .

Periodicidad:

Aunque una senoidal discreta oscile, y tenga envolvente periódica, no tiene por qué ser necesariamente periódica, pues dependerá de donde estén colocadas las muestras. Sabemos que para que sea periódica se debe cumplir:

x[n]=x[n+N],

(50)

e^{j\Omega_0 n}=e^{j\Omega_0(n+N)}\ \Rightarrow\ e^{j\Omega_0 N}=1,

(51)

que se cumple sólo en el caso de que se cumpla la siguiente relación:

\Omega_0 N=2\pi m,\ m\in\Z.

(52)

Por lo tanto, para que una señal senoidal discreta sea periódica, debe cumplirse la siguiente condición:

\frac{\Omega_0}{2\pi}=\frac{m}{N},

(53)

o lo que es lo mismo, que esta expresión sea racional.

En este caso, podemos obtener el periodo fundamental, $N_0$ , que será el mínimo valor del periodo:

N_0=\min\left\{\frac{2\pi}{\Omega_0}m\right\},\ m\in\Z.

(54)

La frecuencia fundamental ahora no será $\Omega_0$ , como en el caso continuo, sino:

\frac{\Omega_0}{m}=\frac{2\pi}{N_0}.

(55)

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1: $x_1[n]=\cos(2\pi n/12),\quad \Omega_0=2\pi/12=\pi/6$ .

$x_1[n]$ se puede ver como muestras de $x_1(t)=\cos(2\pi t/12)$ cada $t=1 s.$ Esta señal tiene frecuencia fundamental $\omega_0=\pi/6$ rad/s y periodo fundamental $T_0=12 s.$

El periodo fundamental será:

N_0=\min\left\{\frac{2\pi}{\Omega_0}m\right\}=\min\left\{\frac{2\pi}{\pi/6}m\right\}=\min\left\{12m\right\},\ m\in\Z\ \overset{m=1}{\Longrightarrow} N_0=12.

(56)

La señal $x_1[n]$ se repite cada 12 puntos, o lo que es lo mismo, cada periodo de la envolvente.

Ejemplo 2: $x_2[n]=\cos(8\pi n/31),\quad \Omega_0=8\pi/31$ .

$x_2[n]$ se puede ver como muestras de $x_2(t)=\cos(8\pi t/31)$ cada $t=1 s.$ Esta señal tiene frecuencia fundamental $\omega_0=8\pi/31$ rad/s y periodo fundamental $T_0=31/4 s.$

El periodo fundamental será:

N_0=\min\left\{\frac{2\pi}{\Omega_0}m\right\}=\min\left\{\frac{2\pi}{8\pi/31}m\right\}=\min\left\{\frac{31}{4}m\right\},\ m\in\Z\ \overset{m=4}{\Longrightarrow} N_0=31.

(57)

La señal $x_2[n]$ se repite cada 31 puntos, o lo que es lo mismo, cada cuatro periodos de la envolvente.

Ejemplo 3: $x_3[n]=\cos(2 n/5),\quad \Omega_0=2/5$ .

$x_3[n]$ se puede ver como muestras de $x_3(t)=\cos(2 t/5)$ cada $t=1 s.$ Esta señal tiene frecuencia fundamental $\omega_0=2/5$ rad/s y periodo fundamental $T_0=5\pi s.$

Tratamos de calcular el periodo fundamental de la señal discreta:

N_0=\min\left\{\frac{2\pi}{\Omega_0}m\right\}=\min\left\{\frac{2\pi}{2/5}m\right\}=\min\left\{5\pi m\right\},\ m\in\Z\ \Rightarrow\ \text{No periódica}.

(58)

Aunque la envolvente, $x_3(t)$ , es una señal periódica, la señal discreta, $x_3[n]$ , no lo es.

Ejemplo 4: Consideremos ahora la suma de dos exponenciales complejas periódicas:

$x[n]=e^{j\frac{2\pi}{3}n}+e^{j\frac{3\pi}{4}n}.$

El primer término tiene periodo fundamental $N_1=3$ , mientras que para el segundo término $N_2=8$ . La suma de ambos es periódica y tendrá como periodo el mínimo común múltiplo (mcm) de ambos.

N_0=\text{mcm}\{N_1,N_2\}=24.

(59)

Se puede comprobar que para señales continuas, una combinación lineal de señales periódicas no tiene por qué ser periódica, ya que no siempre existe el mínimo común múltiplo de números reales. Para el caso discreto, la combinación lineal de señales periódicas siempre es periódica, ya que para números naturales siempre existe su mínimo común múltiplo.

Ambigüedad:

e^{j(\Omega_0+2\pi)n}=e^{j\Omega_0 n}\underbrace{e^{j2\pi n}}_1=e^{j\Omega_0 n}.

(60)

Una exponencial compleja discreta de frecuencia $\Omega_0$ es la misma que una de frecuencia $\Omega_0+2\pi$ , ..., $\Omega_0+2\pi k,\ k\in\Z$ .

Al contrario del caso continuo, en el cual todas las exponenciales complejas son distintas para distintos valores de $\omega_0$ , en el caso discreto no son todas distintas. Sólo es necesario considerar un intervalo para la frecuencia fundamental de longitud $2\pi$ . Por conveniencia se usa:

0\le\Omega_0<2\pi, \text{ ó } -\pi\le\Omega_0<\pi.

(61)

Debido a esta periodicidad en la frecuencia fundamental, no hay un incremento continuo de la velocidad de oscilación con la frecuencia fundamental:

\begin{cases} 0<\Omega_0<\pi\ &\Rightarrow\ \text{Incremento de velocidad de oscilación,}\\ \pi<\Omega_0<2\pi\ &\Rightarrow\ \text{Disminución de velocidad de oscilación.} \end{cases}

(62)

Las exponenciales de baja frecuencia son las que tienen frecuencias cercanas a 0 ( $2\pi k,\ k\in\Z$ ).
Las exponenciales de alta frecuencia son las que tienen frecuencias cercanas a $\pi$ ( $\pi(2k+1),\ k\in\Z$ ).

En particular:

e^{j\pi n}=(e^{j\pi})^n=(-1)^n,

(63)

cambia de signo en cada punto. Es la señal discreta de mayor frecuencia posible.

Completitud: está conectado con las exponenciales complejas relacionadas armónicamente.

Al igual que para el caso de señales continuas, tiene interés considerar exponenciales complejas discretas periódicas relacionadas armónicamente (con periodo común $N$ ):

\phi_k[n]=e^{j\Omega_k n}.

(64)

Todas las exponenciales complejas relacionadas armónicamente tienen la propiedad de que son periódicas con un periodo común $N$ ^[4]:

x[n]=x[n+N]\ \Rightarrow\ e^{j\Omega_k N}=1.

(65)

\Omega_k N=2\pi k,\ k\in\Z.

(66)

Si definimos $\Omega_0$ como^[5]:

\Omega_0=\frac{2\pi}{N},

(67)

la frecuencia fundamental de cada una de las exponenciales complejas relacionadas armónicamente será:

\Omega_k=k\Omega_0=k\frac{2\pi}{N}.

(68)

Sus frecuencias fundamentales, $\Omega_k$ , son múltiplos enteros de una sola frecuencia, $\Omega_0>0$ .

\phi_k[n]=e^{jk\Omega_0 n}=e^{jk\frac{2\pi}{N} n}.

(69)

Pues bien, en el caso continuo todas las exponenciales complejas relacionadas armónicamente con un cierto periodo $T_0$ son distintas, y hay infinitas:

\phi_k(t)=e^{jk\frac{2\pi}{T_0}t},\ k=0, \pm 1, \pm 2, ...

(70)

Para el caso discreto esto no es así, ya que:

\phi_{k+N}[n]=e^{j(k+N)\frac{2\pi}{N}n}=e^{jk\frac{2\pi}{N}n}\underbrace{e^{j2\pi n}}_1=e^{jk\frac{2\pi}{N}n}=\phi_k[n].

(71)

Por lo tanto, sólo existen $N$ exponenciales complejas discretas relacionadas armónicamente de periodo $N$ .

\phi_0[n]=\phi_N[n],\ \phi_1[n]=\phi_{N+1}[n],\ \phi_{-1}[n]=\phi_{N-1}[n],\ ...

(72)

En la tabla 1 se muestra un resumen comparativo de las propiedades de las exponenciales complejas senoidales continuas y discretas.

	Continua $t\in\mathbb{R},\ \omega_0 (rad/s)$	Discreta $n\in\mathbb{Z},\ \Omega_0 (rad/muestra)$
Periodicidad	Siempre son periódicas. $\\ (T_0=\dfrac{2\pi}{\omega_0})$ .	No todas las exponenciales complejas son periódicas. Debe cumplirse: $\Omega_0 N=2\pi m,\ m\in\mathbb{Z}$ . $N_0$ es el mínimo $N$ que cumple esa relación.
Ambigüedad	Son todas distintas. $e^{j(\omega_0 + 2\pi k)t}=e^{j\omega_0 t},e^{j 2 \pi k t}\neq e^{j \omega_0 t}$ .	Dos exponenciales son iguales si $\Omega_0$ varía en un múltiplo entero de $2\pi$ . $e^{j(\Omega_0 + 2\pi k)n}=e^{j\Omega_0 n},e^{j 2\pi k n}=e^{j\Omega_0 n}$ .
Combinación lineal de señales periódicas	No siempre periódica. Ej.: $T_1=1,\ T_2=\sqrt{2}$ ⇒ no existe $T_0$ con $n_1T_1=n_2T_2$ .	Siempre periódica. Si $N_{1}, N_{2}$ son periodos ⇒ $N_0=\mathrm{mcm}(N_1,N_2)$ y $N_0=n_1N_1=n_2N_2$ .
Completitud	Infinitas exponenciales complejas armónicas de periodo $T_0$ . $\phi_k(t)=e^{j\omega_k t}=e^{jk\omega_0 t}=e^{jk\frac{2\pi}{T_0}t}$ .	Sólo hay $N$ exponenciales complejas armónicas de periodo $N$ . $\phi_{k}[n]=e^{j k \frac{2\pi}{N}n}$ . $\phi_{k+N}[n]= e^{j(k+N)\frac{2\pi}{N}n}= \phi_{k}[n]$ .
Velocidad de variación	Aumenta linealmente con la frecuencia.	Frecuencias bajas: cercanas a $2\pi k$ . Frecuencias altas: cercanas a $\pi(2k+1)$ .

Señales impulso unitario y escalón unitario¶

A continuación se presentan otras señales básicas como son el impulso unitario o el escalón unitario, tanto continuo como discreto. Estas señales serán fundamentales para la caracterización de señales y sistemas que veremos en el tema 3. Comenzaremos por las señales discretas, que son más sencillas en este caso que las continuas.

Discretas¶

Impulso unitario^[6]: $\delta[n]$

Se define como:

\delta[n]= \begin{cases} 0, & n\neq 0,\\ 1, & n=0. \end{cases}

(73)

Es una señal que vale 1 exclusivamente cuando su argumento es cero y cero en caso contrario.

Cuestión: ¿Cómo serán las señales $\delta[n-3]$ , $\delta[n+1]$ y $\delta[n-n_0]$ ?

Escalón unitario: $u[n]$ .

Se define:

u[n]= \begin{cases} 0, & n<0,\\ 1, & n\ge 0. \end{cases}

(74)

Es una señal que vale 1 cuando su argumento es mayor o igual que cero y cero en caso contrario.

Se puede ver que ambas señales están relacionadas. El impulso unitario discreto es la primera diferencia del escalón unitario discreto:

\delta[n]=u[n]-u[n-1].

(75)

Por su parte, el escalón unitario es la sumación del impulso unitario:

u[n]=\sum_{m=-\infty}^n \delta[m].

(76)

Haciendo un cambio de variable, esta expresión se transforma en otra equivalente que será útil en el tema 3:

\text{c.v.: }\ k=n-m\ \Rightarrow\ m=n-k,

(77)

u[n]=\sum_{k=\infty}^0\delta[n-k],

(78)

y colocando el extremo menor del sumatorio abajo, como es norma habitual:

u[n]=\sum_{k=0}^\infty\delta[n-k].

(79)

La última expresión es equivalente a la suma de impulsos retardados (usado en el tema 3):

u[n]=\sum_{k=0}^\infty\delta[n-k]=...+\delta[n+2]+\delta[n+1]+\delta[n]+\delta[n-1]+\delta[n-2]+....

(80)

El impulso unitario discreto se puede usar para obtener muestras de una señal discreta:

Por ejemplo, en $n=0$ :

x[n]\delta[n]=x[0]\delta[n].

(81)

Para otro $n\neq 0$ , desplazando la delta a $n_0$ :

x[n]\delta[n-n_0]=x[n_0]\delta[n-n_0].

(82)

A la ecuación (81) se la denomina propiedad de muestreo del impulso unitario discreto.

Continuas¶

Empezamos en este caso definiendo el escalón unitario.

Escalón unitario: $u(t)$ .

Se define de forma similar al escalón unitario discreto:

u(t)= \begin{cases} 0, & t<0,\\ 1, & t>0. \end{cases}

(83)

Se puede ver que es discontinuo en $t=0$ , por lo que la definición del impulso unitario no será tan sencilla como en el caso discreto, si bien su relación sí será su análoga, como veremos a continuación.

Impulso unitario: $\delta(t)$ .

Partimos de relaciones con el escalón unitario equivalentes al caso discreto, es decir, en vez de sumación, integración, y en lugar de primera diferencia, derivación:

u(t)=\int_{-\infty}^t\delta(\tau)d\tau,

(84)

\delta(t)=\frac{du(t)}{dt}.

(85)

La última expresión presenta problemas formales, pues $u(t)$ no es continua en $t=0$ , por lo que formalmente no es derivable.

Consideramos una aproximación al escalón unitario que sí es derivable, $u_\Delta(t)$ , ya que pasa de 0 a 1 con una pendiente alta, pero no infinita.

Su derivada, denotada como $\delta_\Delta(t)$ , ya no presenta problemas formales:

\delta_\Delta(t)=\frac{du_\Delta(t)}{dt}.

(86)

Se observa que $\delta_\Delta(t)$ es un pulso corto de duración $\Delta$ , altura $1/\Delta$ , y área 1, independientemente del valor de $\Delta$ .

En el límite:

u(t)=\lim_{\Delta\to0}u_\Delta(t),

(87)

\delta(t)=\lim_{\Delta\to0}\delta_\Delta(t),

(88)

$\delta(t)$ es una idealización de $\delta_\Delta(t)$ , cuando su anchura se hace insignificante y su altura se hace infinito, pero su área es siempre unitaria.

\int_{-\infty}^\infty \delta(t)dt=1.

(89)

Se representa como una flecha colocada en $t=0$ , para indicar que su área está concentrada en torno a este instante. La altura de la flecha, así como la etiqueta colocada junto a la misma, indican su área y no su altura, ya que $\delta(t)$ es una señal de área.

Un impulso escalado, $C\delta(t)$ , tendrá área $C$ :

\int_{-\infty}^\infty C\delta(t)dt=C,

(90)

\int_{-\infty}^t C\delta(\tau)d\tau=Cu(t).

(91)

Podemos realizar las mismas interpretaciones gráficas que en el caso discreto, haciendo los cambios oportunos del mundo discreto al continuo. Así la ecuación (84):

u(t)=\int_{-\infty}^t\delta(\tau)d\tau,

(92)

Haciendo el cambio de variable $\sigma=t-\tau$ a $\tau=t-\sigma$ :

u(t)=\int_{-\infty}^t\delta(\tau)d\tau=\int_\infty^0\delta(t-\sigma)(-d\sigma)=\int_0^\infty\delta(t-\sigma)d\sigma.

(93)

Teniendo en cuenta que el impulso unitario es una señal par:

\delta(t-\sigma)=\delta(\sigma-t),

(94)

Al igual que ocurría en el caso discreto, el impulso unitario continuo se puede emplear para obtener muestras de una señal continua (esto será muy importante en los temas 3 y 7).

Lo vemos mediante la aproximación $\delta_\Delta(t)$ :

x_1(t)=x(t)\delta_\Delta(t).

(95)

Si $\Delta\ll\ \Rightarrow\ x(t)$ es aproximadamente constante en $0\le t\le\Delta$ :

x(t)\delta_\Delta(t)\simeq x(0)\delta_\Delta(t).

(96)

En el límite cuando $\Delta\to0$ :

x(t)\delta(t)=x(0)\delta(t).

(97)

De forma similar, para un impulso unitario desplazado:

x(t)\delta(t-t_0)=x(t_0)\delta(t-t_0).

(98)

A la ecuación (97) se la denomina propiedad de muestreo del impulso unitario continuo.

Footnotes¶

$T_0$ no es ahora el periodo fundamental de cada una, sino el periodo común de todas ellas.
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$\omega_0$ tampoco es ahora la frecuencia fundamental de cada una, que será $\omega_k$ .
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El resultado ya no es periódico
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Siguiente la notación del Oppenheim, ahora usamos para el periodo común la notación $N$ y no $N_0$ .
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$\Omega_0$ no es la frecuencia fundamental de cada una, que será $\Omega_k$ .
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También llamado delta de Kronecker, especialmente en matemáticas.
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