Propiedades básicas de los sistemas¶

Analizamos las propiedades más importantes que pueden tener los sistemas, tanto continuos como discretos^[1].

Antes de empezar a ver las propiedades de los sistemas, es conveniente indicar la forma de proceder para demostrar que un sistema tiene o no una propiedad^[2]:

Si queremos demostrar que un sistema posee una cierta propiedad, debemos hacerlo a partir de la definición y debe cumplirse para todos los elementos que aparezcan en la definición (señales, instantes de tiempo, desplazamientos, constantes, ...).
Si queremos demostrar que un sistema no posee una cierta propiedad, es suficiente con que no se cumpla la definición para una determinada señal de entrada, o en un determinado instante de tiempo, o valor de las constantes involucradas, .... Por tanto, en este caso, la demostración se puede realizar de dos formas alternativas:
1. A partir de la definición como en el caso afirmativo, pero llegando a la conclusión de que en general no se cumple la definición.
2. Mediante un contraejemplo concreto que demuestre que se incumple la definición.

Sistemas con y sin memoria¶

Solution to Exercise 1

Sin memoria.
Sin memoria (resistencia).
Sin memoria (identidad).
Con memoria (retardo).
Con memoria (acumulador o sumador).
Con memoria (condensador).

El concepto de memoria corresponde a cualquier mecanismo que permite almacenar (recordar) información de entradas pasadas (o futuras).

Por ejemplo, en el acumulador:

y[n]=\sum\limits_{k=-\infty}^n x[k]=x[n]+\sum\limits_{k=-\infty}^{n-1} x[k]=x[n]+y[n-1].

(1)

En los sistemas físicos: memoria $\Rightarrow$ almacenamiento de energía.

Condensador: almacenamiento de carga eléctrica.
Automóvil: almacenamiento de energía cinética.

En los sistemas digitales: memoria $\Rightarrow$ almacenamiento de valores en registros.

Causalidad¶

Ejemplos:

Circuito RC $\Rightarrow$ Causal.
La salida, $v_c(t)$ , depende sólo de valores presentes y pasados de $v_s(t)$ .
Automóvil $\Rightarrow$ Causal.
No anticipa acciones futuras del conductor.

Solution to Exercise 2

Anticausal. La salida para todo instante de tiempo depende sólo de la entrada en instantes posteriores.
Anticausal. La salida en todo instante de tiempo depende sólo de la entrada en instantes futuros.
No causal. La salida depende de la entrada en el instante presente pero también en el futuro.
Causal. La salida depende únicamente de la entrada en el instante presente.

Invertibilidad: sistemas inversos¶

Sistema invertible

Hay varias definiciones equivalentes:

Un sistema es invertible si distintas entradas producen distintas salidas.

\text{Si}\ x_1(t)\neq x_2(t) \Rightarrow y_1(t)\neq y_2(t),\ \forall x_1(t), x_2(t); \forall t.

(7)

Un sistema es invertible cuando existe un sistema inverso, $T^{-1}$ tal que cuando la entrada al mismo es $y(t)$ , su salida es $x(t)$ .

\exists\ T^{-1}\ /\ \text{si}\ y(t)=T\{x(t)\} \Rightarrow x(t)=T^{-1}\{y(t)\},\ \forall t.

(8)

Un sistema es invertible cuando colocado en cascada con el sistema original, produce una salida $w(t)$ igual a la entrada $x(t)$ del primer sistema.
El sistema completo (en línea punteada en el dibujo) es el sistema identidad.

Solution to Exercise 3

Invertible. Sistema inverso: $w(t)=\frac{1}{2}y(t)$ .
Invertible. Sistema inverso: $w[n]=y[n]-y[n-1]$ .
No invertible. Distintas entradas producen la misma salida.
No invertible. No se puede determinar el signo de la entrada a partir de la salida. $x_2(t)=-x_1(t)\ \Rightarrow\ y_2(t)=y_1(t)$ .
Invertible.

Estabilidad¶

Solution to Exercise 4

Estables.
Inestable. La salida crece indefinidamente aunque la entrada esté acotada.
Inestable. Si, por ejemplo, $x[n]=u[n],\ |x[n]|\le 1,\forall t$
$\Rightarrow y[n]=\sum\limits_{k=0}^n u[k]=(n+1)u[n]$ . Crece sin límite.
Inestable. Si, por ejemplo, $x(t)=1,\ |x(t)|= 1,\forall t \Rightarrow y(t)=t$ .
Salida no acotada para entrada acotada.
Estable. Si $|x(t)|<B_x,\ \forall t\ \Rightarrow\ |y(t)|<e^{B_x}=B_y,\ \forall t.$

Las dos últimas propiedades son fundamentales y las usaremos a lo largo de toda la asignatura: Invarianza en el tiempo y linealidad.

Invarianza en el tiempo¶

Un sistema es invariante en el tiempo si sus propiedades se mantienen constantes con el tiempo.

Forma de demostrar que un sistema es invariante en el tiempo:

Sea $x_1(t)$ una entrada arbitraria $\Rightarrow$ $y_1(t)=T\{x_1(t)\}$ .
Sea $x_2(t)=x_1(t-t_0)$ para un $t_0$ arbitrario
$\Rightarrow$ $y_2(t)=T\{x_2(t)\}=T\{x_1(t-t_0)\}$ .
El sistema es invariante en el tiempo si se cumple: $y_2(t)\stackrel{?}{=}y_1(t-t_0)$ .

Solution to Exercise 5

Invariante en el tiempo. Sea $x_1(t)$ una entrada arbitraria $\Rightarrow$ $y_1(t)=\sin[x_1(t)]$ . Sea $x_2(t)=x_1(t-t_0)$ para un $t_0$ arbitrario
$\Rightarrow$ $y_2(t)=\sin[x_2(t)]=\sin[x_1(t-t_0)]$ .
Por otro lado: $y_1(t-t_0)=\sin[x_1(t-t_0)]$ .
Por tanto, se cumple que: $y_2(t)=y_1(t-t_0)$ .
Variante en el tiempo. Se puede usar la demostración general, pero se puede comprobar fácilmente con un contraejemplo:
$x_1[n]=\delta[n]\ \Rightarrow\ y_1[n]=nx_1[n]=n\delta[n]=0.$
$x_2[n]=x_1[n-1]=\delta[n-1]\ \Rightarrow\ y_2[n]=nx_2[n]=n\delta[n-1]=\delta[n-1].$ Como $y_2[n]\neq y_1[n-1]$ , el sistema no es invariante en el tiempo.
Variante en el tiempo. Usamos la demostración general^[3]:
Sea $x_1(t)$ una entrada arbitraria $\Rightarrow$ $y_1(t)=x_1(2t)$ .
Sea $x_2(t)=x_1(t-t_0)$ para un $t_0$ arbitrario $\Rightarrow$ $y_2(t)=x_2(2t)=x_1(2t-t_0)$ .
Por otro lado: $y_1(t-t_0)=x_1(2(t-t_0))=x_1(2t-2t_0)$ .
Por tanto: $y_2(t)\neq y_1(t-t_0)$ .

Linealidad¶

Esta propiedad se puede dividir en dos:

Aditividad: $\text{Si}\ x_3(t)=x_1(t)+x_2(t)\ \Rightarrow y_3(t)=y_1(t)+y_2(t).$
Homogeneidad o escalamiento: $\text{Si}\ x_2(t)=\alpha x_1(t)\ \Rightarrow y_2(t)=\alpha y_1(t).$

La propiedad de homogeneidad implica que en un sistema lineal, si la entrada es nula, la salida debe ser asimismo nula.

\text{Si}\ \alpha=0:\ x(t)=0\ \Rightarrow\ y(t)=0.

(13)

Forma de demostrar que un sistema es lineal:

Sean $x_1(t)$ y $x_2(t)$ entradas arbitrarias. $y_1(t)=T\{x_1(t)\}$ , $y_2(t)=T\{x_2(t)\}$ .
Sea $x_3(t)=\alpha x_1(t)+\beta x_2(t)$ , con constantes $\alpha$ y $\beta$ arbitrarias.
$y_3(t)=T\{x_3(t)\}=T\{\alpha x_1(t)+\beta x_2(t)\}$ .
El sistema es lineal si se cumple: $y_3(t)\stackrel{?}{=}\alpha y_1(t)+\beta y_2(t)$ .

Solution to Exercise 6

Lineal. Sean $x_1(t)$ y $x_2(t)$ entradas arbitrarias.
$y_1(t)=tx_1(t)$ , $y_2(t)=tx_2(t)$ .
Sea $x_3(t)=\alpha x_1(t)+\beta x_2(t)$ una combinación lineal cualquiera de las entradas anteriores.
$y_3(t)=tx_3(t)=t[\alpha x_1(t)+\beta x_2(t)]=\alpha tx_1(t)+\beta tx_2(t)$ .
Se cumple que $y_3(t)=\alpha y_1(t)+\beta y_2(t)$ .
No lineal. Sean $x_1(t)$ y $x_2(t)$ entradas arbitrarias.
$y_1(t)=x_1^2(t)$ , $y_2(t)=x_2^2(t)$ .
Sea $x_3(t)=\alpha x_1(t)+\beta x_2(t)$ una combinación lineal cualquiera de las entradas anteriores.
$y_3(t)=x_3^2(t)=(\alpha x_1(t)+\beta x_2(t))^2=\alpha^2 x_1^2(t)+\beta^2 x_2^2(t)+2\alpha\beta x_1(t)x_2(t)$
Se ve claramente que $y_3(t)\neq\alpha y_1(t)+\beta y_2(t)$ ^[4].
No lineal. No cumple la propiedad de homogeneidad^[5]:
Poniendo una señal compleja cualquiera en forma cartesiana:
$x_1[n]=r[n]+js[n]\ \Rightarrow\ y_1[n]=r[n]$ .
$x_2[n]=\alpha x_1[n]\ \Rightarrow\ y_2[n]=\Re\{\alpha r[n]+j\alpha s[n]\}$ .
Por ejemplo, para $\alpha=j\ \Rightarrow\ y_2[n]=\Re\{jr[n]-s[n]\}=-s[n]$ .
Se ve que $y_2[n]\neq \alpha y_1[n]=jr[n]$ .

Ejemplos de propiedades¶

Ejemplo 1: $y(t)=e^{x(t)}$ .¶

Memoria¶

La salida en cada instante de tiempo $t_0$ depende únicamente de la entrada en ese mismo instante: $y(t_0)=e^{x(t_0)},\ \forall t_0.\rightarrow\quad$ Sin memoria

Causalidad¶

Todo sistema sin memoria es causal. $\rightarrow$ Causal.

Invertibilidad¶

$w(t)=\ln(y(t))=x(t)$ . Se obtiene una señal idéntica a la entrada para cualquier instante de tiempo. $\rightarrow$ Invertible.

Estabilidad¶

Si $|x(t)|<B_x,\ \forall t\ \Rightarrow\ |y(t)|<e^{B_x}=B_y,\ \forall t.$ $\rightarrow$ Estable.

Invarianza en el tiempo¶

Sea $x_1(t)$ una entrada arbitraria $\Rightarrow$ $y_1(t)=e^{x_1(t)}$ .
Sea $x_2(t)=x_1(t-t_0)$ para un $t_0$ arbitrario $\Rightarrow$ $y_2(t)=e^{x_2(t)}=e^{x_1(t-t_0)}$ .
Por otro lado: $y_1(t-t_0)=e^{x_1(t-t_0)}$ .
Por tanto, se cumple que: $y_2(t)=y_1(t-t_0)$ . $\rightarrow$ Invariante en el tiempo.

Linealidad¶

Sean $x_1(t)$ y $x_2(t)$ entradas arbitrarias. $y_1(t)=e^{x_1(t)}$ , $y_2(t)=e^{x_2(t)}$ .
Sea $x_3(t)=\alpha x_1(t)+\beta x_2(t)$ una combinación lineal cualquiera de las entradas anteriores.
$y_3(t)=e^{x_3(t)}=e^{\alpha x_1(t)}e^{\beta x_2(t)}$ .
Como $y_3(t)\neq \alpha e^{x_1(t)}+\beta e^{x_2(t)}$ . $\rightarrow$ No lineal.

Por tanto el sistema es {-M,+C,+I,+E,+IT,-L}.

Ejemplo 2: $y[n]=x[n]x[n-1]$ .¶

Memoria¶

La salida en cada instante de tiempo, $n_0$ , depende de otro instante de tiempo distinto,
$n_0-1$ . $\rightarrow$ Con memoria

Causalidad¶

La salida en cada instante de tiempo, $n_0$ , depende de la entrada en ese mismo instante (presente) y en el anterior, $n_0-1$ , (pasado). $\rightarrow$ Causal.

Invertibilidad¶

Contraejemplo: Sean dos entradas distintas, $x_1[n]$ nula para las muestras pares y $x_2[n]$ nula para las muestras impares, pero $y_1[n]=y_2[n]=0$ . $\rightarrow$ No invertible^[6].

Estabilidad¶

Si $|x[n]|<B_x,\ \forall n\ \Rightarrow\ |y[n]|<B_x^2=B_y,\ \forall n.$ $\rightarrow$ Estable.

Invarianza en el tiempo¶

Sea $x_1[n]$ una entrada arbitraria $\Rightarrow$ $y_1[n]=x_1[n]x_1[n-1]$ .
Sea $x_2[n]=x_1[n-n_0]$ para un $n_0$ arbitrario
$\quad\Rightarrow$ $y_2[n]=x_2[n]x_2[n-1]=x_1[n-n_0]x_1[n-n_0-1]$ .
Por otro lado: $y_1[n-n_0]=x_1[n-n_0]x_1[n-n_0-1]$ .
Por tanto, se cumple que: $y_2[n]=y_1[n-n_0]$ . $\rightarrow$ Invariante en el tiempo.

Linealidad¶

Sean $x_1[n]$ y $x_2[n]$ entradas arbitrarias.
$y_1[n]=x_1[n]x_1[n-1]$ , $y_2[n]=x_2[n]x_2[n-1]$ .
Sea $x_3[n]=\alpha x_1[n]+\beta x_2[n]$ una combinación lineal cualquiera de las entradas anteriores. $y_3[n]=x_3[n]x_3[n-1]=(\alpha x_1[n]+\beta x_2[n])(\alpha x_1[n-1]+\beta x_2[n-1])$
$y_3[n]=\alpha^2 x_1[n]x_1[n-1]+\alpha\beta x_1[n]x_2[n-1]+\alpha\beta x_1[n-1]x_2[n]+\beta^2 x_2[n]x_2[n-1]$ .
Como $y_3[n]\neq \alpha y_1[n]+\beta y_2[n]=\alpha x_1[n]x_1[n-1]+\beta x_2[n]x_2[n-1]$ . $\rightarrow$ No lineal.

Por tanto el sistema es {+M,+C,-I,+E,+IT,-L}.

Footnotes¶

Aunque sólo se pongan las definiciones para sistemas continuos, para el caso discreto son totalmente equivalentes.
↩
Para demostrar que un sistema posee o no una propiedad no es suficiente con enunciar la definición y sin demostrar cosa alguna, llegar a una determinada conclusión.
↩
Sería fácil encontrar un contraejemplo, como $x_1(t)=u(t)$ , y $t_0=1$ .
↩
Se puede demostrar también mediante un contraejemplo, como por ejemplo: $x_1(t)=x_2(t)=\alpha=\beta=1$ .
↩
Las señales y constantes pueden ser complejas.
↩
Otro contraejemplo sencillo es: $x_2[n]=-x_1[n]\ \Rightarrow\ y_2[n]=y_1[n]$ .
↩

Propiedades básicas de los sistemas¶

Sistemas con y sin memoria¶

Causalidad¶

Invertibilidad: sistemas inversos¶

Estabilidad¶

Invarianza en el tiempo¶

Linealidad¶

Ejemplos de propiedades¶

Ejemplo 1: y(t)=ex(t)y(t)=e^{x(t)}y(t)=ex(t).¶

Memoria¶

Causalidad¶

Invertibilidad¶

Estabilidad¶

Invarianza en el tiempo¶

Linealidad¶

Ejemplo 2: y[n]=x[n]x[n−1]y[n]=x[n]x[n-1]y[n]=x[n]x[n−1].¶

Memoria¶

Causalidad¶

Invertibilidad¶

Estabilidad¶

Invarianza en el tiempo¶

Linealidad¶

Ejemplo 1: $y(t)=e^{x(t)}$ .¶

Ejemplo 2: $y[n]=x[n]x[n-1]$ .¶