La transformada Z se puede expresar en función de la transformada de Fourier:
X ( z ) = F { x [ n ] r − n } . X(z) = \mathcal{F} \{x[n]r^{-n} \}. X ( z ) = F { x [ n ] r − n } . Por lo tanto:
x [ n ] r − n = F − 1 { X ( z ) } . x[n]r^{-n} = \mathcal{F}^{-1} \{X(z) \}. x [ n ] r − n = F − 1 { X ( z )} . Se obtiene la transformada Z inversa a partir de la ecuación de síntesis de la transformada de Fourier en tiempo discreto:
x [ n ] r − n = 1 2 π ∫ − π π X ( r e j Ω ) e j Ω n d Ω ⇒ x [ n ] = 1 2 π ∫ − π π X ( r e j Ω ) r n e j Ω n d Ω = 1 2 π ∫ − π π X ( r e j Ω ) ( r e j Ω ) n d Ω . x[n]r^{-n} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X\left( re^{j\Omega} \right) e^{j\Omega n} d\Omega \\\Rightarrow x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X\left( re^{j\Omega} \right) r^{n} e^{j\Omega n} d\Omega = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X\left( re^{j\Omega} \right) \left( re^{j\Omega}\right)^{n} d\Omega. x [ n ] r − n = 2 π 1 ∫ − π π X ( r e j Ω ) e j Ω n d Ω ⇒ x [ n ] = 2 π 1 ∫ − π π X ( r e j Ω ) r n e j Ω n d Ω = 2 π 1 ∫ − π π X ( r e j Ω ) ( r e j Ω ) n d Ω. Para expresar este resultado en función de z z z
z = r e j Ω , d z = j r e j Ω d Ω = j z d Ω ⇒ x [ n ] = 1 2 π j ∮ r X ( z ) z n − 1 d z , z = re^{j\Omega}, \quad dz = jre^{j\Omega}d\Omega=jzd\Omega \\\Rightarrow x[n] = \frac{1}{2\pi j} \oint_r X(z) z^{n-1}dz, z = r e j Ω , d z = j r e j Ω d Ω = j z d Ω ⇒ x [ n ] = 2 πj 1 ∮ r X ( z ) z n − 1 d z , siendo ∮ r \oint_r ∮ r r r r
En el contexto de la asignatura, recurriremos a otras técnicas como la descomposición en fracciones simples, las propiedades de la transformada Z, y los pares conocidos de transformadas Z disponibles en las tablas.